dimostrare applicazione nulla

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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hexen
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dimostrare applicazione nulla

Messaggio da hexen »

Sia f un'applicazione dello spazio delle matrici reali nxn in R tale che f(AB)=f(A)f(B). Mostrare che per n>1 è l'applicazione nulla

ciao
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG »

uhm, scusa, ma il determinante non è nullo...
hexen
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Messaggio da hexen »

determinante di cosa? della mappa?pure volendo fare la matrice associata ho una matrice $ 1 \times n^2 1 $ come giusto che sia viste le dimensioni degli spazi
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ma_go
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Messaggio da ma_go »

evariste intendeva dire che il determinante soddisfa le tue ipotesi..
se poi magari ti sei dimenticato di richiedere la linearità della mappa, beh..
hexen
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Messaggio da hexen »

si f è lineare.... chiedo scusa :D
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG »

ahhhh ecco ... beh, allora è facile.
hexen
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Messaggio da hexen »

io sto cercando di capire dove sono mappati gli elementi della base standard ma non vedo nulla...
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Martino
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Messaggio da Martino »

Ciao!
detta eij la matrice che ha 1 nell'entrata ij e nelle altre 0, se i e j sono diversi allora eij^2=0 e quindi f(eij)f(eij)=f(0)=0 per moltiplicatività e linearità. Quindi f(eij)=0. Poiché n>1 n e 1 sono diversi quindi 0=f(e1n)f(en1)=f(e1n en1)=f(e11) e preso k diverso da 1, 0=f(ek1)f(e1k)=f(ek1 e1k)=f(ekk). Quindi data A matrice arbitraria f(A)=f(\sum Aij eij)=\sum Aij f(eij)=\sum 0=0
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
hexen
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Messaggio da hexen »

alla luce dei suggerimenti di Martino ho fatto cosi:

$ E_{ij}^2 \neq O \Longleftrightarrow i=j $ e dunque sappiamo che $ fE_{ij}=0 $ quando $ i \neq j $

Consideriamo ora i valori degli $ fE_{ii} $. Essi si possono scrivere come $ E_{ii} = E_{ij} \cdot E_{ji} $ per j=1,...,n. Applicando la mappa a entrambi i membri dell'ultima uguaglianza otteniamo anche $ fE_{ii}=0 $, quindi tutti gli elementi della base sono mappati in 0.

è giusto anche cosi?
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG »

Mi sembra esattamente quello che ha fatto martino.
hexen
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Messaggio da hexen »

adesso che ho riletto il post di martino sembra anche a me ma prima ero convinto che avesse fatto una cosa diversa e dal suo ragionamento avevo preso spunto per considerare $ E_{ij}^2 $ al quale non avevo mai pensato :D
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