quanti autovalori

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hexen
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quanti autovalori

Messaggio da hexen » 18 set 2006, 20:53

ciao
è data il seguente endomorfismo dello spazio delle matrici nxn

$ f: A \mapsto tr(A)I_n $

dire se è diagonalizzabile e dire quali sono i suoi autovalori.

mio svolgimento:

abbiamo $ Im(f) = \langle I_n \rangle $ pertanto non vi sono $ n^2 $ autovettori linearmente indipendenti. Non è dunque diagonalizzabile.

Per gli autovalori... uno è $ n $ ma non ho capito se ve ne sono altri...
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Nonno Bassotto
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Re: quanti autovalori

Messaggio da Nonno Bassotto » 18 set 2006, 22:44

hexen ha scritto:Per gli autovalori... uno è n ma non ho capito se ve ne sono altri...
Beh, sui complessi ce ne dovranno essere n^2, contati con molteplicità (algebrica). Ci sono matrici che vanno in 0 tramite la tua applicazione?
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Messaggio da EvaristeG » 18 set 2006, 22:48

Ah, poi non è detto che una cosa diagonalizzabile debba essere iniettiva : prendi la proiezione su una retta : la sua immagine è esattamente lo span di un vettore, ma l'applicazione è diagonalizzabile.

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Messaggio da hexen » 19 set 2006, 00:43

ho dimenticato di dire che il campo è quello reale..
EvaristeG ha scritto:Ah, poi non è detto che una cosa diagonalizzabile debba essere iniettiva : prendi la proiezione su una retta : la sua immagine è esattamente lo span di un vettore, ma l'applicazione è diagonalizzabile.
infatti non è iniettiva se l'immagine ha dim =1 (mi rendo conto delle cagate scritte nel primo post :D)

un altro autovalore è 0 e il suo autospazio è $ \ker f = \{A \in M_n(\mathbb R): tr(A)=0\} $ che ha dimensione $ n^2-1 $...
Per quanto riguarda l'autospazio $ V_n $ posso solo dire che $ \langle I \rangle \subseteq V_n $ e poi? non sono neppure sicuro dell'uguaglianza di insiemi ma sarà l'ora tarda...
e poi come vedo se ci sono altri autovalori?
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Messaggio da hexen » 19 set 2006, 09:16

sarà forse che al mattino sparo meno cazzate :D
Dalle dimensioni degli autospazi e dal aftto che sono disguinti si ha che $ $M_n(\mathbb R) = \ker f \oplus \langle I_n \rangle = V_0 \oplus V_n$ $, quindi f è diagonalizzabile e si ha inoltre $ sp(f) = \{0,n\} $

giusto?
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