universal chord theorem

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mates
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universal chord theorem

Messaggio da mates » 15 set 2006, 21:59

Carino e abbastanza facile, ma il risultato è davvero notevole !

Sia $ f : I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ una funzione. Diciamo che il grafico di $ \displaystyle f $ ha una corda orizzontale di lunghezza $ a >0 $ se $ x \in I, x+a \in I $ e $ f(x) = f(x+a) $.

Sia ora $ f : [0;1] \to \mathbb{R} $ una funzione continua su $ [0;1] $ e con $ f(0)=f(1) $.
Dimostrare che se $ \displaystyle a $ è il reciproco di un intero (ovvero se $ a = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots $) allora $ \displaystyle f $ ha una corda orizzontale di lunghezza $ \displaystyle a $.

Dimostrare inoltre che se $ 0<a<1 $ e $ \displaystyle a $ non è il reciproco di un intero, allora esiste una funzione continua $ f: [0;1] \to \mathbb{R} $ con $ f(0)=f(1) $ che non ha una corda orizzontale di lunghezza $ \displaystyle a $.

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mates
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Messaggio da mates » 17 set 2006, 15:58

Nessuno ci prova ? Suvvia, non è difficile !

NM
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Re: universal chord theorem

Messaggio da NM » 17 set 2006, 17:14

Prima parte:
Sia $ f $ la funzione data. Allora $ g(x)=f(\frac{x}{a}) $ è una funzione continua su $ [0;n] $. La tesi equivale a dire che la g possiede una corda orizzontale di lunghezza 1. Inoltre possiamo suppore $ g(0)=g(n)=0 $. Supponiamo inoltre $ g(1)>0 $ (l'altro caso negativo è analogo, se $ g(1)=0 $ avremmo invece già trovato la corda).

A questo punto la funzione

$ h(x)=g(x)-g(x-1) $

definita da $ [1;n] $ in R è continua e $ h(1)>0 $. Se per assurdo fosse $ h(x)>0 $ per ogni x nel dominio, si avrebbe

$ 0=g(n)>g(n-1)>g(n-2)>...>g(1)>0 $

che è un assurdo. Quindi la funzione h assume anche valori negativi (o si annulla) e per continuità in ogni caso si annulla, fornendo la corda richiesta.

Seconda parte:

Analogamente a prima definisco la funzione su $ [0;\frac{1}{a}] $ di modo che non abbia corde di lunghezza 1.

Per fare questo costruisco prima la funzione su $ [0;1] $ come estensione per continuità di una funzione con questi valori

$ f(\{\frac{1}{a}\})=-[\frac{1}{a}] $
$ f(0)=0 $
$ f(1)=1 $

e poi la definisco su $ [0;\frac{1}{a}] $ mediante la relazione:

$ f(x)=[x]+f(\{x\}) $

che verifica la condizione voluta ed è continua per verifica diretta.

Torna? :?:

NM
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Messaggio da NM » 20 set 2006, 11:33

mates??? :?: ... dai su, come ti sembra la sol sopra?... io non è che ne sia poi convinto...

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mates
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Messaggio da mates » 20 set 2006, 11:59

Il primo punto torna, per il secondo dovresti dimostrare la continuità della funzione.

Più semplicemente potresti considerare una funzione del tipo

$ \displaystyle f(x) = x - \frac{\sin^2{(\pi x / a})}{\sin^2{(\pi /a)}} $


Ciao e alla prossima

mates

NM
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Messaggio da NM » 20 set 2006, 12:04

si... più elegante esibirla così in effetti...

cmq la funzione che ho mostrato si dimostra facilmente che è continua. Se siano lontani da un intero è somma di funzioni continue. Se siamo vicini ad un intero, si vede che i due limiti sono uguali, infatti sia a l'intero in esame:

- limite da destra: (a-1)+1=a;

- limite da sinistra: (a)+(0)=a;

- f(a)=[a]+f(0)=a

alla prox! :D

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