Integrale doppio da esame

[SkZ]

una corona circolare centrata sull'origine degli assi e con raggio interno a e raggio esterno b si puo' definire in coordinate polari come $ ~ a\le \rho \le b $

[Apocalisse86]

$ \displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} d\theta \int_1^2 \left( \rho^{2} \cos^{2} \theta+ \rho^{2} \sin^2 \theta\right) \rho d \rho $=
$ \displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} d\theta \int_1^2 \rho^{3} d \rho $=
$ \displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} d\theta \left[ \frac{\rho^{4}}{4}\right]_1^2 $=
$ \displaystyle \frac{15}{4} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} d\theta $=
$ \displaystyle \frac{15}{4} \left[ \theta\right] _{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2} $=
$ \displaystyle \frac{15\pi}{4} $

ps
$ \rho $ varia tra $ [1;2] $ ossia tra i raggi delle due circonferenze che formano la corona. almeno credo che sia questa la risposta.. qualcuno confermi!!..........ah!!Skz ha confermato!!!

[Sosuke]

Ah vi ringrazio.. anche questo mi è chiaro adesso!

[Sosuke]

Rieccomi dopo 2 settimane con la speranza che abbia le idee più chiare... ho provato a svolgere qualche esercizio... ma non sono sicuro della loro correttezza... potete aiutarmi a capire dove possono essere gli eventuali errori o come avrei potuto adottare una miglio strategia per la soluzione dell'integrale?

Il primo è questo (forse sembrerà strano... ma ho trovato un pò di difficolta visto che la y decresce...)... dovrebbe essere piuttosto semplice:

$ \displaystyle\int\int_D(1-x)e^y dx dy $

dove D è un triangolo di coordinate A= (1,1), B=(1,0), C= (2,0)

Questo è come ho svolto io:

$ D=\{(x,y) \in R^2; 1\le x \le 2, 0 \le y \le 2-x\} $ (Non so se è corretto così come ho definito D)

$ \displaystyle=\int_1^2\int_0^{2-x}(1-x)e^y dx dy = $
$ \displaystyle=\int_1^2[(1-x)e^y]_0^{2-x} dx = $
$ \displaystyle=\int_1^2(1-x)e^{2-x}-(1-x) dx = $
$ \displaystyle=[-x+\frac{1}{2}x^2-2e^{2-x}+xe^{2-x}]_1^2 = $
$ =-(-1+\frac{1}{2}-2e+e)= \frac{1}{2}+e $

Spero sia corretto.. vi ringrazio per il vostro aiuto...

[SkZ]

a me viene 2+1/2-e
Forse in questo caso conviene fare un cambio di variabuile t=x-1 ottenendo
$ \displaystyle \int_0^1\!\!\int_0^{1-t}\!\!\!\! -te^y \textrm{d}t \textrm{d}y = e\int_0^1 \!\!-te^{-t} \textrm{d}t +\int_0^1\!\! t \textrm{d}t $ $ \displaystyle = \left[ (t+1) e^{1-t} +\frac{t^2}{2}\right]_0^1=2-e+\frac{1}{2} $

(attento che ho la pessima abitudine di saltare vari passaggi)

[Sosuke]

No no... perfetto così... mi fa bene fare 2 calcoli...

Un altro esercizio... in questo ho trasformato in coordinate polari....
Ecco magari non sono importanti i calcoli che faccio quanto le trasformazioni di coordinate e gli estremi degli integrali.... quindi sarebbe più che sufficente che controlliate le prime 2 righe dell'esercizio (anche se l'ho scritto tutto).... In ogni caso vi ringrazio....


$ \displaystyle\int\int_D\frac{1}{x^2+y^2+1}dxdy $ con dominio D un cerchio di centro (0,0) e raggio = 1... Matematicamente penso si scrivi così:

$ D:\{(x,y)\in R^2: x^2+y^2=1\} $

Trasformo di coordinate... quindi $ x=\rho cos \theta $ e $ y=\rho sin \theta $ con $ \rho \in [0,1] $, $ \theta \in [0,2\pi] $

Quindi:

$ \displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^1\frac{1}{\rho^2 cos^2 \theta + \rho^2 sin^2 \theta + 1}\rho d\rho d\theta $

$ \displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^1\frac{\rho}{\rho^2 + 1} d\rho d\theta $

$ \displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}\int_0^1\frac{2\rho}{\rho^2 + 1} d\rho d\theta $

$ \displaystyle\int_0^{2\pi}[\frac{1}{2}ln(\rho^2+1]_0^1 d\theta $

$ \displaystyle\int_0^{2\pi}(\frac{1}{2}ln2-\frac{1}{2}ln1) d\theta $

$ \displaystyle[(\frac{1}{2}ln2)\theta]_0^{2\pi} $

$ \displaystyle(\pi ln2-0)=\pi ln 2 $

[SkZ]

esatto
per semplicita' ricordati che
$ \displaystyle \int_{D_x}\!\! \int_{D_y}\!\! f(x)g(y)\textrm{d}y \textrm{d}x = $ $ \displaystyle \int_{D_x}\!\! f(x)\textrm{d}x \int_{D_y}\!\! g(y) \textrm{d}y $

[Sosuke]

Ah ok grazie... In questo esercizio ho avuto difficolta nel trasformare in coordinate polari invece... il domino è l'area compresa tra un cerchio di centro (1,0) e di raggio 1 e la retta x= y, con x e y maggiori di 0... in termini matematici

$ D=\{(x,y) \in RxR-\{0\}:x^2+y^2-2x, y=x; x\ge 0, y\ge 0\} $

La funzione è la seguene:
$ \displaystyle\int\int_D\frac{x}{y}dxdy $

Cambio di coordinate:

$ x=\rho cos \theta, y=\rho sin \theta $ con $ \rho \in [0,1], \theta \in [\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}] $

Onestamente non sono convinto di come ho "definito" $ \rho $ e $ \theta $

[Sosuke]

Ah ok grazie... In questo esercizio ho avuto difficolta nel trasformare in coordinate polari invece... il domino è l'area compresa tra un cerchio di centro (1,0) e di raggio 1 e la retta x= y, con x e y maggiori di 0... in termini matematici

$ D=\{(x,y) \in RxR-\{0\}:x^2+y^2-2x, y=x; x\ge 0, y\ge 0\} $

La funzione è la seguene:
$ \displaystyle\int\int_D\frac{x}{y}dxdy $

Cambio di coordinate:

$ x=\rho cos \theta, y=\rho sin \theta $ con $ \rho \in [0,1], \theta \in [\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}] $

Onestamente non sono convinto di come ho "definito" $ \rho $ e $ \theta $

P.S.: Per pura curiosità... Sviluppando il secondo integrale (sempre se ho fatto bene a trasformare in coordinate polari) viene un risultato del tipo $ [ln(sin \theta)]_a^b $... ora mettiamo il caso che il dominio fosse stato definito in tutto il primo quadrante: $ \theta \in 0,\frac{\pi}{2}] $.
Quindi poichè $ sin 0 = 0 $ nel risultato finale mi sarebbe venuta una cosa simile a questa:

$ ln (sin 0) = ln 0 $ che naturalmente non esiste...
le domanda sono: In questi casi devo sviluppare l'integrale come se fosse un integrale improprio?

Converrebbe cambiare strategia di risoluzione in questi casi?

[SkZ]

da quanto ho capito il dominio sarebbe esattamente
$ D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}:x^2+y^2-2x\le0\;\land\; y\ge x; \} $

Purtroppo fai bene a non essere convinto della trasformazione di coordinate: sei ancora "ammalato" della 'Sindrome da ricetta universale'.
Il cerchio non e' centrato nell'origine, quindi un semplice passaggio alle coordinate polari non aiuta molto.
1) definisco $ ~\xi=x-1 $ ottenendo
$ D=\{(\xi,y) \in \mathbb{R}^2\setminus \{(-1,0)\} : \xi^2+y^2\le1\;\land\; y\ge \xi+1; \} $
$ \displaystyle \int\int_D\frac{\xi+1}{y}\textrm{d}\xi\textrm{d}y $

2) ora cambio in coordinate polari:
$ ~ \xi=\rho \cos{ \phi}, y=\rho \sin{ \phi} $
$ \displaystyle \int_\frac{\pi}{2}^\pi \int_{\frac{1}{\sqrt{2}\cos{(\phi-\frac{3\pi}{4})}}}^1 \frac{\rho \cos{ \phi}+1}{\sin{ \phi}}\textrm{d}\rho\textrm{d}\phi $
anche se sarebbe piu' corretto scrivere
$ \displaystyle \lim_{\varphi\rightarrow \pi}\int_\frac{\pi}{2}^\varphi \int_{\frac{1}{\sqrt{2}\cos{(\phi-\frac{3\pi}{4})}}}^1 \frac{\rho \cos{ \phi}+1}{\sin{ \phi}}\textrm{d}\rho\textrm{d}\phi $

[Sosuke]

Si purtroppo ancora mi viene difficile spaziare su tutte le possibili strategie risolutive di un esercizio...

Allora da quanto ho capito per trasformare in coordinate polari il cerchio deve essere con il centro all'originie....

Il punto 1 l'ho capito perfettamente (a parte come hai scritto il domino... nel punto \xi=-1 il domino esiste.. non esiste solo in y=0... no?)

nel punto 2 non capisco come hai calcolato gli estemi (sia superiore che inferiore) dell'integrale interno...

e poi se ho capito bene... nel caso in cui l'integrale doppio non è continuo in un punto l'ho calcoli come se fosse un integrale improprio... corretto?

[SkZ]

per il dubbio sul punto 1, avevo frainteso la scrittura del dominio, ma non cambia molto visto che l'unico punto del dominio ove y=0 e' il punto (0,0)

per il punto 2, in coordinate polari l'equazione di una retta $ ~ax+by+c=0 $, la cui minima distanza con segno dal centro e' $ \displaystyle d= \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} $, diventa
$ \displaystyle \rho=\frac{d}{\cos{(\theta-\phi+\pi)}} $
ove $ \displaystyle \cos{\phi}= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \sin{\phi}= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $
il dominio e' compreso tra il cerchio di raggio 1 ($ ~\rho\le 1 $) e la retta $ ~ x-y+1=0 $ ($ \displaystyle \rho\ge \frac{1}{\sqrt{2} \cos{(\theta-\frac{3\pi}{4})}} $)

[Sosuke]

$ \displaystyle \rho=\frac{d}{\cos{(\theta-\phi+\pi)}} $

Scusa non ho capito come trovo $ \theta $ e $ \phi $

[SkZ]

$ ~(\rho,\theta) $ sono le coordinate polari, $ ~\phi $ si trova in base a

ove $ \displaystyle \cos{\phi}= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \sin{\phi}= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $

[Sosuke]

A me viene:
$ cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2}} $ e $ sin \phi = -\frac{1}{\sqrt{2}} $ da cui $ \phi=-\frac{\pi}{4} $

quindi a me viene
$ \displaystyle \rho\ge \frac{1}{\sqrt{2} \cos{(\theta+\frac{5\pi}{4})}} $

no

$ \displaystyle \rho\ge \frac{1}{\sqrt{2} \cos{(\theta-\frac{3\pi}{4})}} $

Dov è che sbaglio?