Algebra Lineare [segnatura]

[DarkSepiroth]

Salve a tutti, il mio problema è il seguente:
Trovare, al variare del parametro 't' reale, la segantura del prodotto scalare indotto su R^3 tramite la base standard dalla matrice

2t +1 // - (2t +1) // t + 1

- (2t +1) // t+2 // - 2t

t + 1 // - 2t // 2


Come al solito ho tentato di procedere con il metodo dei determinanti dei minori principali, girando però la base canonica e1,e2,e3 in e3,e2,e1 Il determinante della matrice è - t^3 + t , ma quello della prima sottomatrice è -4t^2 + 2t + 4. Ora mi chiedo : Siccome questo implica che per t=radici di questo polinomio (che non sono radici del polinomio in t determinante della matrice) il prodotto ristretto al sottospazio generato da <e3> degenera, è possibile che questo accada? cioè, che esistano vettori con norma nulla su un sottospazio e non sullo spazio? Piu in generale, il determinante delle sottomatrici può contenere fattori lineari non presenti nella fattorizzazione del determinante in t della matrice?

grazie per l'aiuto.(e soprattutto scusate ma non so ancora usare il latex!)..Dark

[hexen]

è un esercizio del secondo appello dell'esame del lisca di quest'anno?

[DarkSepiroth]

ja

[EvaristeG]

Allora, prima di tutto l'esercizio ...
I minori principali sono
$ \Delta_1=2t+1\quad\Delta_2=-2t^2+t+1\quad\Delta_3=t-t^3 $
Si ha
$ \Delta_1>0\quad t\in]-\frac{1}2,\infty[ $
$ \Delta_2>0\quad t\in]-\frac{1}2,1[ $
$ \Delta_3>0\quad t\in]-\infty,-1[\cup]0,1[ $
Quindi la segnatura è ( scrivo $ (i_+,i_-;i_0) $)
(1,2;0) per $ t\in]-\infty,-1[ $
(1,1;1) per $ t=-1 $
(2,1;0) per $ t\in]-1,-\frac12[ $
(0,1;2) per $ t=-\frac12 $
(2,1;0) per $ t\in]-\frac12,0[ $
(2,0;1) per $ t=0 $
(3,0;0) per $ t\in]0,1[ $
(1,0;2) per $ t=1 $
(2,1;0) per $ t\in]1,\infty[ $
(a meno di errori di calcolo ... ma mi sembra giusto).

Ora, il prodotto scalare degenera ogni qual volta $ i_0\neq0 $, in quanto ci sono vettori x non nulli tali che $ \ ^tx\cdot T\cdot x=0 $ (T è il nostro prodotto scalare). Questo è ovviamente indipendente dal sottospazio in cui ti trovi; di solito, un prodotto scalare in forma di Sylvester si scrive prima con gli 1, poi con i -1, infine con gli 0, ma nessuno lo impone : una semplice permutazione dei vettori della base cambia questa disposizione. Non c'è quindi nessun male nel fatto che un minore principale possa annullarsi, mentre il determinante non è nullo : se provi anche solo per una 3x3 ti accorgerai che i minori principali non fattorizzano il determinante, a meno la matrice non sia, fuori dalle prime k righe e colonne, triangolare.
Inoltre, l'annullarsi o meno dei minori ti da solo informazioni sulla segnatura, non su quali vettori costituiscono una base ortonormale che realizza quella segnatura, quindi non puoi sapere, solo perchè, ad esempio, t=-1/2 e quindi i primi due minori sono nulli, che nel sottospazio Span(e1,e2) si trovano i vettori su cui il prodotto scalare si annulla...infatti, (-3/2,-1,1) e (12,-2,-1) generano il sottospazio su cui degenera il prodotto scalare (se non ho sbagliato i calcoli) che non è certo quello generato da {e1,e2}.

[DarkSepiroth]

si, anche a me tornano i conti, solo che appunto io ho girato la base canonica in modo da trovarmi subito un determinante non dipendente da t (il primo). Comunque, se ho capito bene, quando discuto i segni, la segnatura cambia soltanto in corrispondenza dei valori per cui si annulla il determinante della matrice, 'esclusi' (a parte le radici del determinante) i valori di t per cui si annullano i determinanti dei minori principali, che vanno sempre trattati a parte, magari con un'ortogonalizzazione, giusto?

[EvaristeG]

No, la segnatura cambia, a priori, ogni volta che cambia il segno di uno dei minori, quindi in corrispondenza agli zeri in t di ognuno dei minori. Infatti nel caso precedente la segnatura cambia in -1, -1/2, 0, 1 ma -1/2 non è zero del determinante.
I casi in cui un minore si annulla si discutono come segue :
1) se si annullano tutti e soli i minori di dimensione $ \geq k $, la segnatura si calcola fino a k facendo i rapporti tra i minori, dopo di che vi sono solo zeri in una qualunque forma diagonale della matrice simmetrica, quindi (n-k+1) è l'indice di nullità.
2) se si annulla un minore intermedio, ma dopo ve ne sono altri non nulli, bisogna procedere come nella ricerca di una base diagonalizzante e giocherellare con i cambi di coordinate finchè non si riesce a "portare" in fondo tutti i determinanti nulli... nel caso presente, vista la semplicità della matrice e visto che c'è un solo valore intermedio, t=-1/2, conviene studiare a mano la matrice per t=-1/2.

[psion_metacreativo]

Come al solito ho tentato di procedere con il metodo dei determinanti dei minori principali

Come funziona questo metodo?
Siccome la segnatura la calcolo in altro modo potreste gentilmente farmi un riassunto (anche senza dimostrazioni)? ah già che ci siete mi fareste un favore indicandomi una referenza bibliografica su questo specifico argomento, grazie.

[DarkSepiroth]

il metodo dei determinanti ti permette di calcolare la segnatura di una matrice che rappresenta un prodotto scalare reale definito positivo senza passare attraverso la base ortogonale.

Tento di spiegartela cosi: (

Sia B la matrice che rappresenta [/size]il nostro prodotto scalare rispetto alla base canonica {e1,e2,...en}.
Sia D la matrice che rappresenta il nostro prodotto scalare rispetto ad una base ortogonale {v1.v2...vn}.
Chiamiamo M=(v1,v2,vn) la matrice di cambiamento di base dalla base canonica alla base {v1,v2,v3} ortogonale dello spazio V. (che ha come colonne proprio i vettori v1,v2,...vn)

Allora, B e D sono congruenti secondo la relazione D = (Mtrasposta) B M.
Osserviamo quindi che Det(D) = [Det(M)]^2 Det B.
Dunque, sign(det(D)) = sign(det(B)).

Supponiamo di lavorare con un prodotto scalare non degenere (quindi tale che DetB sia diverso da zero) e tale che la restrizione del prodotto scalare ai primi k vettori dello spazio (sulla nostra base) sia non degenere per ogni k<=n.
Allora per ogni k=1,2...n=dim(V) possiamo costruire una trasformazione lineare che mandi ogni sottospazio di dimensione k in sè (e osserviamo che la matrice associata a questa trasformazione è triangolare), e in particolare basi non ortogonali in basi ortogonali.

Chiamando M(k) la matrice di cambiamento di base per ogni k, si ha la relazione di congruenza fra B(k) [che rappresenta secondo la base canonica la restrizione del prodotto ai primi k vettori della base] e D(k) [che la rappresenta rispetto alla base ortogonale, ed è quindi diagonale]: D(k) = [M(k)trasposta] B(k) M(k).
E come prima, sign(detB(k)) = sign(detD(k)) per ogni k.
[attenzione: è importante che per ogni k, la restrizione sia non degenere].
Dunque, se vogliamo determinare il segno dell'elemento sulla riga k-esima e colonna k-esima (che chiamiamo d) della matrice diagonale D basta considerare la relazione induttiva:

sign(d) = sign detD(k) / sign det (D(k-1)) = sign det (b(k)) / sign det(B(k-1)).

A questo punto, basta 'contare' il numero dei 'd' che hanno segno positivo, il numero dei 'd' con segno negativo. Le cose si complicano un pochino se il prodotto è degenere...basta che guardi i messaggi precedenti per capire come funziona...
Comunque per la bibliografia posso solo dirti che io non ho ancora trovato una spiegazione decente si libri che ho