Lemma di Poincaré

[Demos]

Mi servirebbe l'enunciato del "Lemma di Poincaré" per le forme differenziali definite su un dominio dello spazio euclideo $ n $-dimensionale (non ho testi meco!)


Problema 1)

Sia $ (v_1(x), \ldots,v_n(x)) $ un campo vettoriale liscio definito per ogni $ x\inB $ con $ B $ palla nello spazio euclideo $ n $-dimensionale. Provare che se
$ \sum_{i=1}^n\frac{\partial v^i(x)}{\partial x^i}=0 $
allora le componenti del campo vettoriale possono essere espresse nella forma
$ v^i(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial \omega^{ij}(x)}{\partial x^j} $
essendo $ \omega $un campo vettoriale antisimmetrico definito in $ B $.