Ho un'altra domanda sul cubo di rubik: finora abbiamo considerato gli orientamenti dei cubetti spigoli e vertici, ma non quelli dei cubetti centrali delle facce. Questi ovviamente non si spostano in giro per il cubo, ma possono ruotare su sé stessi.
E' possibile che una mossa del cubo abbia come unico effetto quello di ruotare uno o più dei cubetti centrali? Se sì, quali rotazioni sono possibili?
ordine gruppo cubo di rubik
Si, il concetto è lo stessoMindFlyer ha scritto: E' sostanzialmente quello che dicevi sopra per motivare il fatto che P=Q*Ha*Hs, mi sembra.
Però a questo punto non è chiaro come risolvi la Ps senza toccare i vertici.
però così è più rapido.Cmq questo procedimento lo si può applicare dopo aver provato che
- tenendo fissi tutti gli angoli, si possono ottenere tutte le permutazioni pari degli spigoli e
tenendo fissi tutti gli spigoli, si possono ottenere tutte le permutazioni pari degli angoli.
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MindFlyer
E' possibile, non l'avrei mai detto!MindFlyer ha scritto:E' possibile che una mossa del cubo abbia come unico effetto quello di ruotare uno o più dei cubetti centrali? Se sì, quali rotazioni sono possibili?
Sono riuscito a ruotare i centri delle facce in tutti i modi possibili, purché la somma totale dei quarti di giro sia pari. Congetturo che siano le sole rotazioni possibili, ma non so come dimostrarlo.
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MindFlyer
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MindFlyer
Ok, l'ho dimostrato! 
Sarò breve e circonciso perché ho pochissimo tempo.
Diciamo che una mossa del cubo è una rotazione di 1/4 di giro di una faccia, in senso orario o antiorario. Dimostrerò che ogni sequenza di mosse che riporta il cubo nella posizione di partenza, a meno di rotazioni dei cubetti centrali delle facce, è composta da un numero pari di mosse. In questo modo sarà anche dimostrata la congettura.
Ricordiamoci l'invariante sugli spigoli: mettiamo il cubo nella configurazione iniziale, e disegnamo una freccia su ogni cubetto spigolo, in modo che spigoli paralleli abbiano frecce rivolte nello stesso senso. Allora si vede facilmente che ogni mossa del cubo cambia il verso di esattamente 2 frecce parallele che sono lati opposti della stessa faccia.
Dividiamo gli spigoli nei 3 sottoinsiemi di spigoli paralleli. Ogni mossa del cubo inverte 2 spigoli di uno dei sottoinsiemi. Dimostrando che le mosse del cubo che influiscono su ognuno dei sottoinsiemi devono essere pari, avremo concluso. Siano allora A,B,C,D gli spigoli di un sottoinsieme, presi in senso orario rispetto alle loro posizioni nel cubo. Ogni mossa che influisce su questo sottoinsieme deve invertire 2 spigoli adiacenti, quindi in particolare deve invertire necessariamente uno ed uno solo tra A e C. Le mosse che invertono A devono essere pari, perché affinché il cubo torni nella posizione di partenza, la freccia in A dev'essere invertita un numero pari di volte. Stesso discorso per C. Quindi in totale le mosse che influiscono sul sottoinsieme sono pari.
Fine.
Sarò breve e circonciso perché ho pochissimo tempo.
Diciamo che una mossa del cubo è una rotazione di 1/4 di giro di una faccia, in senso orario o antiorario. Dimostrerò che ogni sequenza di mosse che riporta il cubo nella posizione di partenza, a meno di rotazioni dei cubetti centrali delle facce, è composta da un numero pari di mosse. In questo modo sarà anche dimostrata la congettura.
Ricordiamoci l'invariante sugli spigoli: mettiamo il cubo nella configurazione iniziale, e disegnamo una freccia su ogni cubetto spigolo, in modo che spigoli paralleli abbiano frecce rivolte nello stesso senso. Allora si vede facilmente che ogni mossa del cubo cambia il verso di esattamente 2 frecce parallele che sono lati opposti della stessa faccia.
Dividiamo gli spigoli nei 3 sottoinsiemi di spigoli paralleli. Ogni mossa del cubo inverte 2 spigoli di uno dei sottoinsiemi. Dimostrando che le mosse del cubo che influiscono su ognuno dei sottoinsiemi devono essere pari, avremo concluso. Siano allora A,B,C,D gli spigoli di un sottoinsieme, presi in senso orario rispetto alle loro posizioni nel cubo. Ogni mossa che influisce su questo sottoinsieme deve invertire 2 spigoli adiacenti, quindi in particolare deve invertire necessariamente uno ed uno solo tra A e C. Le mosse che invertono A devono essere pari, perché affinché il cubo torni nella posizione di partenza, la freccia in A dev'essere invertita un numero pari di volte. Stesso discorso per C. Quindi in totale le mosse che influiscono sul sottoinsieme sono pari.
Fine.
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MindFlyer
Qualche parola su come ho costruito le rotazioni pari dei centri delle facce.
D'ora in poi chiameremo A,B,C,D,E,F le facce del cubo, in modo che A sia opposta a D e B sia opposta a E. Analogamente, con "A" indicheremo la mossa che ruota in senso orario A di 90°, e così per le altre facce.
Consideriamo la mossa AB: vista come permutazione dei cubetti, essa coinvolge esattamente 13 cubetti. Osserviamo il cubo ortogonalmente allo spigolo in comune ad A e B, in modo che A stia a sinistra e B a destra, e numeriamo i 13 cubetti dall'alto al basso e da sinistra a destra, in questo modo.
I cubetti 5,6,7 sono in comune ad A e B, mentre i centri delle facce non si spostano, e quindi non li contiamo. In seguito alla mossa AB, i cubetti si spostano in questo modo.
Dividiamo la permutazione in cicli:
0 --> 10 --> 12 --> 7 --> 2 --> 0, lunghezza 5;
1 --> 3 --> 8 --> 11 --> 9 --> 6 --> 4 --> 1, lunghezza 7;
5 --> 5, lunghezza 1.
Quindi, dopo 7*5=35 ripetizioni della mossa AB, i cubetti tornano nelle posizioni di partenza.
Vediamo cosa succede all'orientamento di uno spigolo dopo un giro. Immaginiamo che le frecce degli spigoli verticali vadano dall'alto in basso, e quelle degli spigoli orizzontali da sinistra a destra. Allora 1 --> 3 inverte, 3 --> 8 inverte, 8 --> 11 non inverte, 11 --> 9 inverte, 9 --> 6 non inverte, 6 --> 4 inverte, 4 --> 1 non inverte. In totale ci sono 4 inversioni, quindi tutti gli spigoli tornano negli orientamenti originari, dopo un ciclo.
Vediamo i vertici. Dopo un ciclo, ogni cubetto vertice potrà girarsi di 0, di 1/3 o di 2/3. In ogni caso, dopo 3 cicli tutti i vertici avranno di nuovo gli orientamenti originari.
Ne segue che dopo 35*3=105 ripetizioni della mossa AB, il cubo sarà tornato nella configurazione iniziale. Ma i centri delle facce A e B saranno ruotati di 90° in senso orario, perché ogni faccia ha fatto esattamente 105 rotazioni di 90°.
Ora cambiamo notazione, ed indichiamo con "A" la mossa che ruota di 90° in senso orario il cubetto centrale di A lasciando fermo il resto del cubo, con "a" quella che lo ruota in senso antiorario, e così via per le altre facce.
Sappiamo che la mossa A non si può fare (post precedente), ma abbiamo appena fatto vedere che AB si può fare. In modo simile, si faranno tutte le mosse del tipo XY, con X e Y facce adiacenti. Ecco come fare altre mosse pari:
ab = AB AB AB,
Ab = AC cb,
AD = AB bD,
ad = AD AD AD,
Ad = AB bd,
AA = AB bA.
Queste mosse bastano per costruire qualunque rotazione pari dei centri delle facce. Infatti basterà fare prima le mosse del tipo AA per le facce che vanno ruotate di 180°. Poi accoppiare facce da ruotare di 90° e di 270°, e risolverle con le mosse del tipo Ab e Ad. Resteranno un numero pari di facce da ruotare di 90° (con le mosse del tipo AB e AD), oppure un numero pari di facce da ruotare di 270° (con le mosse del tipo ab e ad).
D'ora in poi chiameremo A,B,C,D,E,F le facce del cubo, in modo che A sia opposta a D e B sia opposta a E. Analogamente, con "A" indicheremo la mossa che ruota in senso orario A di 90°, e così per le altre facce.
Consideriamo la mossa AB: vista come permutazione dei cubetti, essa coinvolge esattamente 13 cubetti. Osserviamo il cubo ortogonalmente allo spigolo in comune ad A e B, in modo che A stia a sinistra e B a destra, e numeriamo i 13 cubetti dall'alto al basso e da sinistra a destra, in questo modo.
Codice: Seleziona tutto
0 3 5 8 10
1 6 11
2 4 7 9 12
Codice: Seleziona tutto
2 1 5 3 0
4 9 8
7 6 121110
0 --> 10 --> 12 --> 7 --> 2 --> 0, lunghezza 5;
1 --> 3 --> 8 --> 11 --> 9 --> 6 --> 4 --> 1, lunghezza 7;
5 --> 5, lunghezza 1.
Quindi, dopo 7*5=35 ripetizioni della mossa AB, i cubetti tornano nelle posizioni di partenza.
Vediamo cosa succede all'orientamento di uno spigolo dopo un giro. Immaginiamo che le frecce degli spigoli verticali vadano dall'alto in basso, e quelle degli spigoli orizzontali da sinistra a destra. Allora 1 --> 3 inverte, 3 --> 8 inverte, 8 --> 11 non inverte, 11 --> 9 inverte, 9 --> 6 non inverte, 6 --> 4 inverte, 4 --> 1 non inverte. In totale ci sono 4 inversioni, quindi tutti gli spigoli tornano negli orientamenti originari, dopo un ciclo.
Vediamo i vertici. Dopo un ciclo, ogni cubetto vertice potrà girarsi di 0, di 1/3 o di 2/3. In ogni caso, dopo 3 cicli tutti i vertici avranno di nuovo gli orientamenti originari.
Ne segue che dopo 35*3=105 ripetizioni della mossa AB, il cubo sarà tornato nella configurazione iniziale. Ma i centri delle facce A e B saranno ruotati di 90° in senso orario, perché ogni faccia ha fatto esattamente 105 rotazioni di 90°.
Ora cambiamo notazione, ed indichiamo con "A" la mossa che ruota di 90° in senso orario il cubetto centrale di A lasciando fermo il resto del cubo, con "a" quella che lo ruota in senso antiorario, e così via per le altre facce.
Sappiamo che la mossa A non si può fare (post precedente), ma abbiamo appena fatto vedere che AB si può fare. In modo simile, si faranno tutte le mosse del tipo XY, con X e Y facce adiacenti. Ecco come fare altre mosse pari:
ab = AB AB AB,
Ab = AC cb,
AD = AB bD,
ad = AD AD AD,
Ad = AB bd,
AA = AB bA.
Queste mosse bastano per costruire qualunque rotazione pari dei centri delle facce. Infatti basterà fare prima le mosse del tipo AA per le facce che vanno ruotate di 180°. Poi accoppiare facce da ruotare di 90° e di 270°, e risolverle con le mosse del tipo Ab e Ad. Resteranno un numero pari di facce da ruotare di 90° (con le mosse del tipo AB e AD), oppure un numero pari di facce da ruotare di 270° (con le mosse del tipo ab e ad).