en passant (for beginners)

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

en passant (for beginners)

Messaggio da ma_go » 08 ago 2006, 15:24

ok, la questioncina en passant che ho proposto due volte in un lunghissimo thread, è passata davvero inosservata..
però ai tempi (l'anno scorso, non pensiate che sia così vecchio) mi era parsa carina...
è molto facile, motivo per cui ero dubbioso di postarla a parte, però...

dire se la seguente implicazione è vera o falsa:
se esiste $ \lim_{x\to 0} f'(x) $ allora $ f $ è derivabile in $ 0 $.

ps. mi permetto di sottolineare il "for beginners" del titolo...

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 17 ago 2006, 08:52

Oh, povero thread. :cry:

$ \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} $.

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 17 ago 2006, 11:00

pensavo fosse sottointeso, quel limite esiste finito..
sorry..
m.

NM
Messaggi: 18
Iscritto il: 07 ago 2006, 11:43

Messaggio da NM » 17 ago 2006, 12:03

scusate ma si vuole anche continua la funzione?
Perchè altrimenti basta prendere una funzione continua e derivabile e modificare il valore in 0 di modo che ivi sia discontinua e di conseguenza non derivabile, ma mi pare strano che sia questo che richiede il problema: altrimenti sarebbe stato formulato in modo diverso... o no?

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 23 ago 2006, 17:06

uff :(
chiedo umilmente scusa..
ora riscrivo il problema in modo completo e comprensibile (è abbastanza chiaro che NM ha pienamente ragione, basta prendere $ f(x) = 0 $ per $ x<0 $, $ f(x) = 1 $ per $ x\ge 0 $):

data $ f $ continua tale che esiste finito $ \lim_{x\to 0} f'(x) $, $ f $ è derivabile in $ 0 $?
se sì, dimostrarlo, se no esibire un controesempio...

NM
Messaggi: 18
Iscritto il: 07 ago 2006, 11:43

Messaggio da NM » 26 ago 2006, 19:25

boh a me viene che è vero :? ... ho provato a scrivere la funzione come integrale di una funzione Riemann-integrabile per x>0 e di una diversa funzione per x<0 che però siano continue e con i limiti in 0 uguali... questo credo si possa fare perchè la funzione in un intorno di 0 è derivabile... e poi ho usato le stime date dalla derivata..

Se mi dite che il risultato torna, posso provare a scrivere il metodo... non lo faccio ora perchè mi pare strano come risultato :!:

Avatar utente
Nonno Bassotto
Site Admin
Messaggi: 970
Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
Località: Paris
Contatta:

Messaggio da Nonno Bassotto » 26 ago 2006, 23:49

Molto più semplice...
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill

NM
Messaggi: 18
Iscritto il: 07 ago 2006, 11:43

Messaggio da NM » 27 ago 2006, 12:29

Beh... ma è vero o no? non l'ho ancora capito :!:
perchè quanto ho scritto sul mio blocco è semplice... devo dedurre che esiste un contro-esempio "facile"??
ho usato degli integrali per comodità (e perchè cercavo un contro-esempio!), ma avrei potuto seguire lo stesso procedimento anche solo con il teorema di Lagrange (le cui ipotesi sono soddisfatte)... (quello che dice |f(h)-f(0)| minore o uguale di h moltiplicato il sup delle derivate nell'aperto)...
tu che dici, Nonno Bassotto??? :?:

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 27 ago 2006, 13:29

beh, se sei convinto di quello che dici, scrivilo :)
nessuno ti fucila se scrivi qualche stronzata (se non mi hanno fucilato su mathlinks per aver applicato am-gm nel verso sbagliato...)...
però non è divertente se ti diciamo subito cosa è vero e cosa è falso :)

comunque, credo che nonno bassotto si riferisse ad una soluzione più breve al quesito (diciamo che lo capisco :wink: )

NM
Messaggi: 18
Iscritto il: 07 ago 2006, 11:43

Messaggio da NM » 27 ago 2006, 14:08

non sono convinto, cmq... suppongo che i limiti delle derivate siano 0 e che f(0)=0. Poi gli altri casi si faranno analogamente. Prendo un h piccolo a piacere. in [0,h] le ipotesi del teorema del valor medio sono verificate, quindi

$ |f(h)|<= \sup_{x \in (0,h)} |f'(x)|*h $

e quindi

$ |f(h)/h|<= \sup_{x \in (0,h)} |f'(x)| $

ma quest'ultimo tende a 0 per h che tende a 0 per ipotesi. da cui la derivata in 0 esiste ed è nulla.

HomoPatavinus
Messaggi: 54
Iscritto il: 23 mag 2006, 16:32
Località: Padova

Messaggio da HomoPatavinus » 27 ago 2006, 19:32

ma se prendessimo y=|x| ? a me pare continua e con una derivata destra diversa da quella sinistra per x --> 0 ....
è sufficiente per negare la tesi? io dico di si....

HomoPatavinus
Messaggi: 54
Iscritto il: 23 mag 2006, 16:32
Località: Padova

Messaggio da HomoPatavinus » 27 ago 2006, 20:05

scusate avevo letto male la consegna. Avevo confuso LimF'(x) con LimF(x). per farmi perdonare mi farò pubblicamente umiliare provando a fare questa dimostrazione (che sarebbe la mia priama volta).

la dimostrazione l'ho cancellata, spero ness1 l'abbia letta.
Ultima modifica di HomoPatavinus il 28 ago 2006, 08:41, modificato 3 volte in totale.

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 27 ago 2006, 20:09

primo messaggio: non esiste il limite delle derivate in 0, homopatavinus (o omodepadoa)...
secondo messaggio: $ |x| $ dà un esempio di una funzione per cui i limiti destri e sinistri delle derivate esistono diversi...

NM: a me pare che funzioni...
però.. c'è una soluzione più breve...
piccolo (piccolissimo, eh) hint:
qualcuno ha scritto:de l'hopital

HomoPatavinus
Messaggi: 54
Iscritto il: 23 mag 2006, 16:32
Località: Padova

Messaggio da HomoPatavinus » 28 ago 2006, 08:36

ho cancellato la dimostrazione di prima. Era oscena. Comunque continuo a pensare che una funzione sia derivabile per definizione in un dato punto se il limite della derivata in quel punto esiste ed è finito.

NM
Messaggi: 18
Iscritto il: 07 ago 2006, 11:43

Messaggio da NM » 28 ago 2006, 10:48

ma_go ha scritto:NM: a me pare che funzioni...
però.. c'è una soluzione più breve...
piccolo (piccolissimo, eh) hint:
qualcuno ha scritto:de l'hopital
non mi era venuto in mente! Sarà perchè non ho mai utilizzato in vita mia quel teorema? :wink: ...
cmq perchè scomodare il marchese se basta un semplice valor medio ??? (ok! perchè è ancora più veloce... ma la via facile non sempre è quella migliore :D ... eheh)

@Homopatavinus: se guardi bene, nei post sopra ci sono esempi di funzione che falsificano quanto dici...

Rispondi