OliForum Matematico

Siano K un campo di caratteristica 0, X un K-spazio lineare ed x \in X tale che f(x) = 0, per ogni $ f \in X^* $. Provare che necessariamente x = 0.

Il mio fine sarebbe capire se è possibile una dimostrazione indipendente dall'assioma di scelta, visto che non ho trovato altro modo di venirne a capo. E sempre nella stessa ottica...

Cosa si può dire se X è uno spazio lineare topologico reale, anziché un semplice spazio vettoriale, ed $ X^* $ denota adesso l'insieme di tutti i funzionali lineari continui $ X \to \mathbb{R} $?

Beh se X è un k-spazio vettoriale a dimensione finita su K e se, e solo se, $ x $ è un vettore non nullo è immediato completare $ {x} $ ad una base$ \beta $ di X. Allora il primo funzionale della base di X* duale rispetto a $ \beta $ in $ x $ è non nullo.
Per gli spazi vettoriali di dimensione infinta e gli spazi topologici non ho abbastanza conoscenze comunque a naso mi sa che occorre AC...

(So che questo post è come affermare che l'acqua calda è calda, ma qualcuno dovrà pur scriverle delle banalità)

psion_metacreativo ha scritto: (So che questo post è come affermare che l'acqua calda è calda, ma qualcuno dovrà pur scriverle delle banalità)

...ma non ti serve esser troppo severo a te stesso!

Beh, ogni spazio vettoriale ammette una base, appunto grazie all'assioma della scelta (e del resto, solo grazie all'AC si riescono a produrre esempi di spazio vettoriale a dim infinita). Quindi quella dim torna, aggiustata un poco, anche su spazi a dim infinita.

Infatti, ma HiTLeuLeR ne cercava una senza assioma della scelta. In effetti l'assioma della scelta e' equivalente all'asserzione che ogni spazio vettoriale ammette una base, ma non mi e' chiaro se l'asserzione piu' debole che X va iniettivamente in X** sia equivalente a sua volta (sospetto di si'). Magari ci penso un po' su.

Per il caso topologico e' ancora vero, ed e' un caso particolare di Hahn-Banach, dai un'occhiata qua
http://www.dm.unipi.it/~acquistp/anacon.pdf
Ovviamente si usa di nuovo l'assioma della scelta.

EvaristeG ha scritto:del resto, solo grazie all'AC si riescono a produrre esempi di spazio vettoriale a dim infinita

EvaristeG ha scritto:[...] solo grazie all'AC si riescono a produrre esempi di spazio vettoriale a dim infinita [...]

In effetti... In quanto al resto, pensavo d'essere stato chiaro (ed evidentemente mi sbagliavo): cerco conferme o smentita sulla disponibilità di una dimostrazione alternativa, che non passi (in ultima analisi) per l'assioma di scelta. In fondo, il ricorso al teorema di Hamel mi pare altrimenti scontato.

@Nonno Bassotto: nel caso topologico, anche ammesso di invocare Hahn-Banach per provare l'esistenza dell'amorevole funzionale, in che modo dimostrarne comunque la continuità? A me riesce quando X sia normato, ma non in generale. Non escludo tuttavia che possa essermi sfuggito qualcosa.

Nel caso di spazio vettoriali topologici non è più vero, infatti esistono spazi vettoriali topologici $ X $ per cui $ X^\ast $ è banale, ad esempio gli spazi $ L^p $ con $ 0<p<1 $. Se siete desiderosi di più dettagli chiedete.

Rispondo sia ad hitleuler che a publiosulpicio. Ho detto una cosa errata, serve che lo spazio vettoriale topologico sia localmente convesso. Quello a cui facevo riferimento era la forma geometrica del teorema di hahn banach, sta nel link che ho postato, teorema 1.7.3 pag. 38.

Teorema 1.7.3 (di Hahn-Banach, 1a forma geometrica) Sia X uno
spazio vettoriale topologico, e siano K, H sottoinsiemi non vuoti, convessi e
disgiunti di X, con K aperto. Allora esiste un funzionale lineare F : X → C,
continuo e non nullo, tale che
$ \forall x \in K F x \leq F x_0 $
Se prendo per K un intorno convesso dell'origine non contenente il punto e per H il solo punto, ho la tesi che volevo. Quello di cui non mi ero accorto e' che nel prendere K uso che la topologia sia localmente convessa.
Quindi in generale il caso topologico sembra essere falso. Sorry

Confermo quanto detto da Nonno Bassotto, infatti l'esempio citato da me è uno spazio vettoriale topologico non localmente convesso, infatti si dimostra che gli unici aperti convessi in quello spazio sono l'insieme vuoto e l'intero spazio.

@NonnoBassotto&PublioSulpicio: ok, molte grazie a entrambi.