dubbio sull'uguaglianza tra due polinomi

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dubbio sull'uguaglianza tra due polinomi

Messaggio da psion_metacreativo » 30 giu 2006, 12:36

Se due polinomi $ p,g \in\mathbb{K}[x] $ sono uguali e se $ char(\mathbb{K})=0 $ allora i coefficienti di ogni grado sono uguali, se la caratteristica del campo è positiva cosa si può dire? Sono ancora uguali i coefficienti di ogni grado o vale qualcosa di meno forte?

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 30 giu 2006, 14:49

Cosa intendi per "sono uguali" ?

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Messaggio da psion_metacreativo » 30 giu 2006, 16:26

E' incredibile la capacità di Evariste di focalizzare il punto cruciale di un problema, dacchè io stesso non riuscivo quasi a capire la mia domanda perchè non la formulavo correttamente, ragionandoci sopra quello che intendevo esprimere è il seguente ragionamento:

I polinomi in una indeterminata di grado minore o uguale a n con coefficienti in un campo, quello che usualmente si indica con $ \mathbb{K}_{n}[x] $, sono uno spazio vettoriale di dimensione $ n+1 $, una cui base è $ \left\{1,x,\ldots,x^{n}\right\} $,o quantomeno questo sicuramente se il campo ha caratteristica 0.

Allora ecco una lista di dubbi nata da questi pensieri:

1) Se il campo $ \mathbb{K} $ ha caratteristica positiva $ \mathbb{K}_{n}[x] $ è uno spazio vettoriale di dimensione $ n+1 $?
Ed $ \left\{1,x,\ldots,x^{n}\right\} $ è sempre una base?

2)In quest'ottica ha senso dire che due polinomi sono uguali se sono identici come elementi dello spazio vettoriale, allora riformulando la domanda iniziale può accadere che due vettori identici abbiano coordinate diverse rispetto a $ \left\{1,x,\ldots,x^{n}\right\} $?

Provando a rispondermi:
In definitiva questo accade se $ \left\{1,x,\ldots,x^{n}\right\} $ non sono linearmente indipendenti, giusto?

Allora mi domando se questi elementi sono sempre indipendenti linearmente oppure no?

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Messaggio da EvaristeG » 30 giu 2006, 17:14

beh, il fatto è che spesso si fa confusione tra polinomi e funzioni polinomiali: i polinomi sono gli elementi di un anello ottenuto aggiungendo a K un elemento x trascendente, ovvero che non soddisfa nessuna relazione algebrica su K, quindi gli elementi 1, x, ..., x^n sono lin indipendenti su K perchè altrimenti avremmo la suddetta relazione algebrica. Quindi su un campo qualsiasi, due polinomi sono uguali come polinomi se e solo se hanno i coefficienti uguali.
Invece la funzione polinomiale associata al polinomio p(x) è quella che, ad ogni k in K, associa p(k), ovvero la classe di p(x) modulo (x-k); questo ha senso in quanto il quoziente di $ K[x] $ per l'ideale generato da x-k (che è massimale) è un campo ed è proprio K. Due funzioni polinomiali indotte da polinomi p(x) e q(x) sono uguali se p(k)=q(k) per ogni k in K.
Quello che hai in mente tu è, credo, cercare di scoprire se vale la seguente implicazione : le funzioni polinomiali associate a p(x) e q(x) sono uguali ==> p(x)=q(x).

Su un campo a caratteristica positiva, questo è in generale falso, basti pensare che $ a^p\equiv a\ (\mod p) $ e quindi nel campo degli interi mod p si ha che $ p(x) $ e $ p(x)^p $ inducono la stessa funzione polinomiale.

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