Due derivate di integrali.... svolte diversamente :|

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Poeth
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Due derivate di integrali.... svolte diversamente :|

Messaggio da Poeth » 19 giu 2006, 23:42

Esame 2002 tradizionali ordinaria
Posto x > 0 trovare la derivata.

$ \int^{x+1}_xln(t) dt = |\int ln(t)dt|^{x+1}_x $
la cui derivata è
$ |ln(t)|^{x+1}_x =ln(x+1) - lnx = ln\frac{x+1}{x} $

Problema molto semplice e di risoluzione facile. La soluzione risulta.

Esame 2001 tradizionale ordinaria.
Sapendo che f(0)=2 calcolare

$ lim_{x->0}\frac{\int^x_0f(t)}{2xe^x} $
usiamo quindi del'Hopitail

$ lim_{x->0}\frac{|f(t)dt|^x_0}{2e^x(x+1)} = lim_{x->0}\frac{f(x)-f(0)}{2e^x(x+1)} =0 $


La soluzione invece è 1. Andando a vedere la guida ufficiale, troviamo

$ lim_{x->0}\frac{|f(t)dt|^x_0}{2e^x(x+1)} = lim_{x->0}\frac{f(x)}{2e^x(x+1)} = 1 $

Ora qui sorge il mio dubbio. La derivata di un integrale definito è risolta nei due casi come:

1) $ \int^b_af(t) dt ---> |f(t)|^b_a = f(b)-f(a) $
2) $ \int^b_af(t) dt ---> f(b) $

Devo ammettere che a nel secondo caso $ a = 0 $ mi aveva dato sospetto, ma va ricordato che allo stesso tempo $ f(a) \neq 0 $, quindi mi pare molto strano che debba dipendere da ciò.
Un'altra differenza è che l'integrale 2 è improprio. Ma anche qui non mi spiego un bel nulla.
Oppure semplicemente mi sono perso un passaggio :D... help me ^^
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D

[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1

e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}

2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]

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Messaggio da Marco » 20 giu 2006, 08:41

Il fatto è che hai sbagliato a derivare il numeratore.

Scelgo $ F(x) $ una primitiva fissata di $ f(x) $. Allora $ \frac{dF(x)}{dx} = f(x) $. Inoltre:
$ \int_0^x f(t) dt = F(x) - F(0) $.

Deriva quest'ultima: la derivata di $ F(x) $ fa $ f(x) $. Invece $ F(0) $ è una costante, la cui derivata fa 0.

Ne segue che la derivata del numeratore non fa $ f(x) - f(0) $, bensì $ f(x) $. Da lì, svolgere il limite è facile, e viene 1.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Messaggio da Marco » 20 giu 2006, 10:00

In alternativa, per non scomodare Monsieur de L'Hospital, potevi usare il Teorema di [chi era?...] Lagrange, o del Valor Medio.

Vuoi stimare
$ $\frac{F(x) - F(0)}{2 e^x} = \dots $;

per il T.V.M., esiste un punto

$ \xi \in (0, x) $ t. c. $ F(x) - F(0)= x f(\xi) $, quindi:

$ $\dots = \frac{x f(\xi)}{2 e^x} $

A questo punto è fatta:

$ $\frac{x}{e^x} \to 1 $ [limite notevole]
$ $f(\xi) \to 2 $ [continuità di f()].
[]
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Messaggio da Poeth » 20 giu 2006, 13:52

ah già! nel primo caso è
$ f(x)-g(x) $
nel secondo
$ f(x)-k $

che scemo ^^
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D

[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1

e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}

2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]

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