Comportamento di 2 Serie

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lancilotto
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Comportamento di 2 Serie

Messaggio da lancilotto » 12 giu 2006, 14:32

Ragazzi mi potete dare una mano per determinare
il comportamento di queste 2 serie?:
1)
$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n^2+\sqrt{n}+1}(\frac{n+1}{n+2})^n^{2} $
2)
$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{4^n}(\frac{n^2}{n^2+1})^n^3 $

Ringrazio e saluto tutti!
:wink: :wink: :wink:

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Marco
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Messaggio da Marco » 12 giu 2006, 15:07

La (2) si vede a occhio: il termine generico è positivo e la serie si maggiora con la serie geometrica di ragione 1/4, quindi è convergente.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Poeth
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Re: Comportamento di 2 Serie

Messaggio da Poeth » 18 giu 2006, 00:05

Non so se può aiutare ma fai conto che nella 1)

$ (\frac{n+1}{n+2})^n^{2} = (\frac{n+1+1-1}{n+2})^n^{2} = (1-\frac{1}{n+2})^n^{2} $
(che poi tende a 1 con n tendente a infinito.)
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D

[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1

e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}

2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]

marcox^^
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Messaggio da marcox^^ » 18 giu 2006, 13:51

Poeth ha scritto:che poi tende a 1 con n tendente a infinito
Veramente mi sembra che tenda a 0, con ordine di infinitesimo maggiore di 2; quindi, dato che l'altra parte della successione, all'infinito è un infinitesimo di ordine 1, se non sbaglio la serie converge.

Poeth
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Re: Comportamento di 2 Serie

Messaggio da Poeth » 18 giu 2006, 16:00

$ (1-\frac{1}{n+2})^n^{2} $ tende a 1 con n tendente ad infinito

perchè
$ (\frac{1}{n+2})^n^{2} $ tende a 0 e 1 elevato a qualsiasi potenza è 1
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D

[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1

e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}

2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 18 giu 2006, 19:05

poeth ... non funziona : altrimenti con lo stesso ragionamento avresti $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1} $ mentre quel limite è maggiore di 2 (fa e=2.7....).

Piuttosto ...
$ n/(n^2+\sqrt{n}+1)\sim 1/n $
$ \displaystyle{\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{-(n+2)(-n^2)/(n+2)}\sim e^{-n}} $
e quindi per confronto asintotico la serie ha lo stesso comportamento di $ \sum (ne^n)^{-1} $ che converge... a meno che io non sia completamente rincoglionito per il troppo studio.

Poeth
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Messaggio da Poeth » 18 giu 2006, 19:12

ah già che scemo :D non ho considerato che la potenza influenza tutta la parentesi xD chiedo scusa :D cmq non sono ancora convinto di marcoxx :O
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D

[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1

e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}

2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]

marcox^^
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Messaggio da marcox^^ » 19 giu 2006, 22:10

Di cosa non sei convinto? Il mio ragionamento è stato lo stesso di EvaristeG (anche se non ho messo le formule perchè non so usare il latex :oops: ), quindi, a meno che lo studio non abbia nuociuto troppo a entrambi..
Se ciò che non ti torna è le parole "infinitesimo maggiore di 2", l'ho scritto per non sprecare troppe parole.

Poeth
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Messaggio da Poeth » 19 giu 2006, 23:11

non capisco perchè dici che tende a 0 la funzione :?
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D

[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1

e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}

2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]

marcox^^
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Messaggio da marcox^^ » 20 giu 2006, 15:12

Allora, hai detto di essere d'accordo con quanto detto da EvaristeG, quindi concordi il fatto che la funzione, all'infinito sia circa uguale a e^(-n), ok? A questo punto, puoi concludere che essa tende a 0 in quanto e^(-n) = 1/e^n tende a 0 per n che tende a infinito (il rapporto tra 1 e qualcosa che tende a infinito, tende a 0).
Tutto chiaro ora?

Poeth
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Messaggio da Poeth » 21 giu 2006, 18:52

ah si :D
quando avevi risposto avevo guardato la prima equazione di evariste e non capivo il nesso XD
Perdonatemi, mi sto rincorbellendo :cry:
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D

[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1

e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}

2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]

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