Integrale definito di seno quadro

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Samu
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Integrale definito di seno quadro

Messaggio da Samu » 07 giu 2006, 16:55

Salve, vi scrivo per chiedervi di aiutarmi nella risoluzione di un problema algebrico che mi sono ritrovato ad affrontare all'interno di un esercizio di fisica. L'esercizio in particolare è preso dalla fase nazionale delle olimpiadi di fisica del 1998 (il numero 3, ndr) e il problema che mi riguarda è proprio nell'ultima parte dell'esercizio. Operando l'equivalenza tra due forze, si ottiene una equazione in cui compare sia un seno quadro di omega per t, sia un coseno quadro di omega per t. In realtà, queste due forze non sono costanti nel tempo e l'equivalenza precedente si riferisce al valor medio delle due forze. Consultando la risoluzione dell'esercizio, ho letto che per la risoluzione occorre semplicemente indicare che sia il valor medio del seno quadro che del coseno quadro siano uguali ad un mezzo. io ho cercato di interpretare questa affermazione secondo la seguente formula:

$ \int^{2\pi}_{0}sin^{2}\left(\omega t\right) dt $

Secondo voi ho interpretato bene? E, nel caso, potreste darmi una mano a capire i passi attraverso i quali poter risolvere questo integrale?

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 07 giu 2006, 17:48

Ciao!
Innanzitutto, ho spostato il messaggio in Matematica non Elementare in quanto è lì che vanno problemi di analisi e simili.
Ora, premetto che non ho capito la situazione fisica da cui viene il tuo problema, ma se quello che vuoi è vedere come si calcola quell'integrale, eccoti accontentato :
$ \displaystyle{\int_0^{2\pi}\sin^2(t)dt=\int_0^{2\pi}\sin(t)\cdot\sin(t)dt= $$ \displaystyle{-\cos(t)\sin(t)\Big\vert_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}-\cos^2(t)dt=\int_0^{2\pi}\cos^2(t)dt} $
dove la penultima uguaglianza viene dall'integrazione per parti.
Quindi l'integrale del seno quadro e del coseno quadro sul periodo sono uguali. Da ciò
$ \displaystyle{2\pi=\int_0^{2\pi}1dt=\int_0^{2\pi}\sin^2(t)+\cos^2(t)dt=2\int_0^{2\pi}\sin^2(t)dt} $
ovvero, il seno quadro mediato sul periodo fa 1/2.

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Samu
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Messaggio da Samu » 07 giu 2006, 20:20

Grazie EvaristeG e scusa se ho sbagliato a scrivere il post nella sezione sbagliata. Ho capito il senso della tua replica eccetto nell'ultima affermazione: "il seno quadro mediato sul periodo fa un mezzo". Vuoi vorse dire che l'integrale definito, in un periodo completo, di seno quadro offre come risultato soltanto il valore di pi greco (che è solo mezzo periodo)?
E poi, per il resto, la tua risposta sarebbe esauriente, se non fosse che in essa non compare quel benedetto omega con il quale non so proprio come comportarmi. Cosa devo fare?

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Martin
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Messaggio da Martin » 07 giu 2006, 20:35

Quell'omega è argomento della funzione, evariste l'ha scordato lasciando solo t, dunque al posto di t metti wt nella soluzione.

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Samu
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Messaggio da Samu » 07 giu 2006, 20:51

Cosa vuoi dire, Martin? Non posso semplicemente aggiungere wt perchè w è una costante e fa parte dell'argomento della funzione sinusoidale; pertanto non posso neanche pensare di portare l'omega fuori dell'integrale.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 07 giu 2006, 22:26

Ora, il fatto è il seguente :
la media della funzione $ f $ sull'intervallo [a,b] è il numero
$ M(f(x);a,b)=\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx} $ (quando questo valore esiste finito).
La media del seno quadro sul periodo è dunque
$ M(\sin^2(x);0,2\pi)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}{\int_0^2\pi}\sin^2(x)dx=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}} $
( tra parentesi, al posto di $ [0,2\pi] $ potevo ovviamente mettere $ [a,a+2\pi] $ per un qualunque a reale ...)

Se la funzione che vuoi mediare la scrivi come $ \sin^2(\omega t) $ il periodo di lei sarà $ \displaystyle{\left[0,\frac{2\pi}{\omega}\right]} $ e quindi
$ \displaystyle{M(\sin^2(\omega t);0,\frac{2\pi}{\omega})=\frac{\omega}{2\pi}{\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}}\sin^2(\omega t)dt=\frac{1}{2\pi}{\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}}\sin^2(\omega t)d(\omega t) $$ \displaystyle{=\frac{1}{2\pi}{\int_0^{2\pi}}\sin^2(x)dx=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}} $
applicando un facile cambio di variabile $ x=\omega t $

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Messaggio da Samu » 07 giu 2006, 23:08

Grazie EvaristeG, sei stato esauriente. Domani chiederò ulteriori delucidazioni a scuola e poi magari tornerò a scrivere qualcosa nel pomeriggio. A presto.

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Messaggio da Samu » 08 giu 2006, 11:59

Ok, sono riuscito a risolvere l'integrale definito sfruttando il teorema della media integrale con periodo da 0 a 2pi/omega.
Adesso mi ricordo però che, a suo tempo, la prof ci indicò una formula trigonometrica che avrebbe dovuto aiutarci nella risoluzione riportando al primo grado la funzione sinusoidale (e quindi evitandoci di fare l'integrazione per parti. Mi pare di ricordare una cosa tipo 1/2(1-senx), sulla quale però nutro delle serie perplessità. Qualcuno ha capito a cosa mi riferisco?

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PaulErdos
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Messaggio da PaulErdos » 08 giu 2006, 13:17

Penso tu ti riferisca a
$ cos{2x} = 1 - 2 sin^2{x} $
da cui
$ sin^2{x} = \frac {1 - cos{2x}}{2} $

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Samu
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Messaggio da Samu » 08 giu 2006, 20:16

Grazie mille, è proprio quella che stavo cercando!

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