identità: sommatorie...fourier?

[livingbooks]

ollà... bando alle ciance:
$ \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}(n+t)^{-s} = \frac{(-2\pi i)^s}{\Gamma(s)}\sum_{m>0}m^{s-1}e^{2\pi itm} $

ho provato a riscriverlo così:

$ \displaystyle \Gamma(s)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(n+t)^{-s} $$ \displaystyle = \int_0^{\infty}u^{s-1}\frac{e^{-u\{x\}}e^{-iyu}}{1-e^{-u}}du + e^{-\pi is}\int_0^{\infty}u^{s-1}\frac{e^{-u\{x\}}e^{iyu}}{1-e^{-u}}du $ $ \displaystyle= (-2\pi i)^s\sum_{m>0}m^{s-1}e^{2\pi itm} $

dove $ \{x\}=|x| (\bmod 1) $, $ t=x+iy $, $ y>0 $, $ s+\overline s >2 $ ...
pensando così di poter trovare i coefficienti della corrispettiva serie di fourier, ma, sempre che i calcoli fin qui sian tutti giusti, non raggiungo il risultato sperato.
qualcuno mi passa un attimo la sua lampada?
tante merci

Edit: come non detto, tutto risolto