cosa sviluppare (taylor)? + domanda teorica

[hexen]

ciao ho da calcolare

$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}$ $

sviluppare tutto il numeratore è inumano, cosa posso sviluppare?

poi mi chiedo: in generale come faccio a capire quale grado dl polinomio mi basta?

grazie;)

[tuvok]

Il limite può essere riscritto come $ $\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\log(1+\sin z) - \log(1+\sinh z)}{z^3}$ $. Anche a me era venuto in mente di risolverlo con uno sviluppo in serie, ma non di tutto il numeratore: tenendo conto che
$ \log{(1+\alpha )}\approx \alpha $ se $ \alpha <<1 $ allora il limite può essere riscritto come $ $\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin z - \sinh z}{z^3}$ $. Conoscendo gli sviluppi in serie
$ \displaystyle \sin t=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-... $
$ \displaystyle \sinh t=t+\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}+... $
si può riscrivere il limite come $ $\lim_{z \rightarrow 0} \frac{z-z^3/3!-z-z^3/3!+o(z)}{z^3}=\lim_{z \rightarrow 0} \frac{-2z^3/3!+o(z)}{z^3}=-\frac{2}{3!}=-\frac{1}{3}$ $

in generale come faccio a capire quale grado dl polinomio mi basta?

In realtà non so neanche io, in generale, a che ordine fermarmi per lo sviluppo in serie, in genere vado a occhio; l'unica cosa che bisogna tenere presente è che quando al numeratore (o al denominatore) c'è una differenza tra due espressioni, bisogna fare in modo di metterla in risalto con lo sviluppo in serie: fermandosi al primo ordine il limite sarebbe venuto 0 poichè la differenza tra le due espressioni sarebbe stata trascurata perchè piccola (ma poichè anche il denominatore va rapidamente a 0, non è corretto trascurarla). Andando avanti fino al terzo ordine invece, questa differenza è stata messa in risalto (e valeva -2/3!), mentre sono state trascurate le differenze di ordine superiore (indicate con o(z)) .

[hexen]

che intendi con "mettere a risalto"? cmq nello sviluppo del seno e del sinh c'è $ o(z^3) $ non o(z)

cmq considerando il limite in z intendi dire che essendoci al denominatore un polinomio di terzo grado dobbiamo avere al numeratore un polinomio almeno dello stesso grado ottenuto mediante lo sviluppo di qualcosa?
se ad esempio avessimo avuto

$ $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x -\cosh x}{x^3}$ $, lo sviluppo di secondo grado al numeratore ci avrebbe dato forme indeterminate, il cos e il cosh non hanno termini di grado dispari, gli $ x^4/24 $ si cancellano e dovremmo sviluppare al sesto grado avendo $ $\frac{-x^2-\frac{2}{6!}x^6+o(x^6)}{x^3}=-\frac 2{6!}x^3-\frac 1 x + o(x^3)$ $
e cosa faccio ora?

[tuvok]

Scusa per l'o(z), errore mio di distrazione...
Per quanto riguarda quel limite con i coseni, non credo sia una forma indeterminata per x tendente a 0, dovrebbe venire infinito (più o meno a seconda che il limite sia sinistro o destro)

che intendi con "mettere a risalto"?

Era un modo di dire: intendevo dire che dallo sviluppo in serie deve risultare che la differenza tra sinx e sinhx per x tendente a 0 non è 0 ma va a 0 come x³.

[hexen]

il limite con i coseni è uno 0/0

[hexen]

mi chiedo ancora

Ad esempio nel calcolo di $ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sinh \sin x - \sin \sinh x}{x^7}$ $ lo sviluppo del numeratore di ordine 7 è

$ \sinh P_7(x)- \sin Q_7(x) $ dove P e Q sono gli sviluppi del sin e del sinh rispettivamente e il pedice indica il grado.

Sviluppando ancora ho $ Q_7(P_7(x))-P_7(Q_7(x)) $

Tutto questo in teoria. In pratica
Non esiste un metodo meno bovino per fare quei calcoli?
Chi mi dice che quei polinomi non sono uguali? (in generale)

Supponiamo di aver calcolato quello sviluppo completo del numeratore. Nel nostro caso devono venire tutti monomi di grado $ \geq 7 $?? C'è un risultato generale che lo afferma?

[hexen]

forse in questo modo la mia domanda è posta meglio

Ad esempio nel limite con i cos e i cosh, facendo con il teorema dell'hopital viene infinito ed è giusto e facendo con taylor compare un 1/x che dà il contributo per renderlo infinito.

Il problema è che il calcolo di altri limiti (che sono finiti) mi vengono situazioni simili in cui facendo il rapporto vengono termini del tipo $ \frac a {x^k} $ che mandano a infinito quando non è vero. Mi chiedo dunque come riconoscere ed evitare queste cose

Ad esempio nel calcolo di $ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sinh \sin x - \sin \sinh x}{x^7}$ $ sapendo che $ \sin x \approx x $ e che $ \sinh x \approx x $ possiamo(?) scrivere $ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sinh x -\sin x}{x^7}$ $ ma sviluppando il numeratore di grado 7 otteniamo il rapporto

$ $\frac{\frac{x^3}{3}+\frac{x^7}{2520}+o(x^8)}{x^7}$ $ dove compare il termine $ $\frac 1 {3x^4}$ $ che è il "contributo infinito sbagliato" che dicevo sopra.

[EvaristeG]

Uhm, scusa, perchè è un contributo sbagliato??

[hexen]

nel calcolo del limite scritto in latex del post sopra quello di EvaristeG verrebbe

$ $\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac 1 {3x^4} + \frac 1 {2520}+o(x) \right ) = +\infty$ $ ma invece la funzione originale ha finito, ecco perche dico contributo sbagliato.

[EvaristeG]

Perchè è finito? (era questa la domanda, in realtà)
o se vuoi, forse è meglio che io ti chieda : posta il metodo con cui calcoli quel limite.

[hexen]

veramente la fonte del risultato finito è Mathematica
cmq io mi chiedo a questo punto: qual è lo sviluppo corretto di ordine 7 di $ \sinh \sin x - \sin \sinh x $ senza fare a mano 7 derivate? (ovvero sfruttando le proprietà dello sviluppo di funzioni composte)

[EvaristeG]

Beh ... allora :
1) si parte sempre a sviluppare dalla funzione più esterna :
$ \sinh\sin x\sim \sin x+\frac{1}{6}(\sin x)^3+\frac{1}{120}(\sin x)^5+\frac{1}{5040}(\sin x)^7+o(\sin^8x) $

2)bisogna tener conto di che grado si vuole ottenere da ogni singolo pezzo, sviluppando le funzioni interne della composizione :
i - esaminiamo il primo monomio : $ \sin x $
se vogliamo avere precisione all'ordine 7, dovremo sviluppare al 7 ordine il seno
$ \sin x\sim x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+o(x^8) $
ii - il secondo monomio ha grado 3, quindi ci basta sviluppar il seno al suo interno al grado 5 : i prodotti del tipo 1°grado*1°grado*5°grado contribuiscono al 7°, ma nessun prodotto che includa un sesto grado potrà contribuire ad esso; inoltre, anche i cubi degli elementi di grado >2 non contribuiranno e allo stesso modo si potrà evitare di far la maggior parte dei conti :
$ $\frac{1}{6}(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!})^3\sim\frac{1}{6}(x^3-\frac{x^5}{2}+\frac{x^7}{40}+\frac{x^7}{12})+o(x^7)$ $
iii - stesse considerazioni fatte per il secondo monomio, solo che si calcolano ancora meno termini : si deve elevare alla quinta, quindi compariranno solo la quinta potenza del termine lineare e il prodotto tra la quarta potenza del termine lineare e il termine cubico.
$ $\frac{1}{120}(x-\frac{x^3}{3!})^5\sim\frac{1}{120}(x^5-\frac{5x^7}{6})+o(x^7)$ $
iv - ovviamente per l'ultimo monomio conta solo il termine lineare.

3) mettiamo tutto assieme :
$ \sinh\sin x\sim \sin x+\frac{1}{6}(\sin x)^3+\frac{1}{120}(\sin x)^5+\frac{1}{5040}(\sin x)^7+o(x^8) $
sostituiamo
$ $(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!})+\frac{1}{6}(x^3-\frac{x^5}{2}+\frac{x^7}{40}+\frac{x^7}{12})$ $$ $+\frac{1}{120}(x^5-\frac{5x^7}{6})+\frac{1}{5040}x^7+o(x^7)$ $

4) per sviluppare anche $ \sin\sinh x $, notiamo che tra seno e seno iperbolico cambiano solo i segni, quindi basta mettere tutti i segni positivi all'interno delle singole parentesi e rendere alternati quelli tra una parentesi e l'altra :
$ $(x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!})-\frac{1}{6}(x^3+\frac{x^5}{2}+\frac{x^7}{40}+\frac{x^7}{12})$ $$ $+\frac{1}{120}(x^5+\frac{5x^7}{6})-\frac{1}{5040}x^7+o(x^7)$ $

5) sommiamo le due cambiando segno alla seconda e vediamo che scompare tutto tranne che i termini al 7° grado, lasciando
$ x^7\left(-\frac{2}{7!}+\frac{2}{40}+\frac{2}{12}-\frac{2}{144}+\frac{2}{5040}\right) $
ovvero $ $x^7\frac{73}{360} $.
...se non ho sbagliato a fare i conti...

[hexen]

in generale c'è da usare il teorema multinomiale? mi sembra poco pratico da applicare però, anche per capire quali sono i termini dello sviluppo che servono

[EvaristeG]

In generale, i limiti li si fa fare a un programma che sappia derivare più velocemente di quanto tu respiri ... non penso che, per verificare anche solo un 4° o un 5° ordine, qualcuno si riduca al conto a mano.
Se per teorema multinomiale intendi
$ (a_1+\ldots+a_n)^k=(a_1+\ldots+a_n)\cdot\ldots\cdot(a_1+\ldots+a_n) $ k volte, beh, non mi sembra il caso di dargli un nome ... se invece intendi un improbabile sviluppo della k-esima potenza di una somma di n termini con i coefficienti multinomiali... beh no, anche perchè di solito si vede a occhio dove ci si deve fermare, basta prendere k-1 volte il grado più basso che compare e vedere qual è il massimo grado che, completando il prodotto, lo lascia sotto la precisione richiesta...