Successione per ricorrenza

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hexen
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Successione per ricorrenza

Messaggio da hexen » 24 mar 2006, 23:57

ciao, ho da studiare la seguente successione

$ $x_{n+1}=|2x_n-3| , \quad x_0=8$ $

Voglio mostrare che $ x_n \rightarrow +\infty $. Ho mostrato che è crescente, come faccio a mostrare che $ \sup x_n = +\infty $? oppure quali altri metodi potrei usare?

ciao :D
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AleX_ZeTa
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Messaggio da AleX_ZeTa » 25 mar 2006, 00:46

se è crescente ha limite (finito o infinito). Quindi basta dimostrare che non può avere limite finito. Se una successione def . per ricorrenza ha limite è facile osservare la ricorrenza deve valere anche al limite: se $ a_{n + 1} = f(a_n ... a_{n-k}) $ e $ L $ è il suo limite, allora $ L = f(L ... L) $

nel caso particolare avremmo: $ L = |2L - 3| $ che, dato che la succ, è crescente, si riduce all'unica soluzione L = 3, che è minore di 8 e quindi non può essere limite della successione.
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ma_go
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Messaggio da ma_go » 25 mar 2006, 10:30

piccolo particolare omesso da alex_zeta: in tutto questo ragionamento, f dev'essere continua.
ok, ok, lo so che lo sapete, però va detto..

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 25 mar 2006, 12:39

Più semplicemente :
sappiamo che $ x_{n+1}\geq x_{n} $; quindi $ 2x_n-3>2x_0-3=13>0 $
dunque $ x_{n-1}=|2x_n-3|=2x_n-3=x_n+(x_n-3)>x_n+1 $.
Quindi $ x_n>x_0+n\to \infty $ se $ n\to\infty $.

Senza lemmi di contrazione.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 25 mar 2006, 17:58

ma_go ha scritto:in tutto questo ragionamento, f dev'essere continua.
Non direi proprio!
Piuttosto, se f è continua, allora il ragionamento vale.

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