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Quante sono le topologie distinte di un insieme di n elementi?

Questa domanda è già stata posta nel vecchio forum da Pennywise.
La risposta è che la domanda è malposta. Ponila in una forma del tipo "Dimostrare che le topologie su un insieme di cardinalità n sono /funzione di n/.", altrimenti non ha alcun senso.

il problema è che io non la conosco mica la funzione di n...Io non conosco la soluzione di questo problema. Non capisco però perchè la domanda dovrebbe essere mal posta?
Forse devo scrivere:

Sia X un insieme finito di cardinalità n. Trovare il numero di sottoinsiemi distinti A di P(X) (insieme della parti di X) tali che la coppia (X,A) formi uno spazio topologico.

la domanda ha senso, lascia perdere le seghe mentali di mindflyer..
la "risposta" è che sono in corrispondenza biunivoca con le partizioni di X (quantità che credo non si possa esprimere in "forma chiusa", come si suol dire), ma è solo calcolabile ricorsivamente, o per mezzo di somme che dipendono in maniera "subdola" da n (ovvero devi sommare n termini che dipendono da n, cosa che in generale non è bella).
il perché sia in corrispondenza biunivoca con le parti di X.. beh, pensateci
m.

Le parti o le partizioni?

buona la prima (delle mie), ovvero la seconda delle tue..
evidentemente sono le partizioni, mea culpa...
per capirci, i modi di spaccare X in sottoinsiemi non vuoti disgiunti...

ma_go ha scritto:la domanda ha senso, lascia perdere le seghe mentali di mindflyer..
la "risposta" è che sono in corrispondenza biunivoca con le partizioni di X (quantità che credo non si possa esprimere in "forma chiusa", come si suol dire), ma è solo calcolabile ricorsivamente, o per mezzo di somme che dipendono in maniera "subdola" da n (ovvero devi sommare n termini che dipendono da n, cosa che in generale non è bella).
il perché sia in corrispondenza biunivoca con le parti di X.. beh, pensateci
m.

In pratica mi stai dando ragione, hai riformulato il problema in modo sensato, ovvero nella forma "Dimostrare che le topologie su un insieme finito sono tante quante le sue partizioni.". Ora non so se davvero non capisci le mie obiezioni, o se proprio non capisci un tubo.

ehm.. ritiro quello che ho detto, non è affatto vero...
e mi riservo di _non_ commentare le illazioni...

Mind, concorderai che se il propositore non sa la soluzione, è dura che la indichi agli altri ...

In conclusione la risposta sarebbe che un insieme di ordine $ n $ ha $ p(2^{n}) $ possibili topologie diverse, dove $ p(m) $ è il numero di partizioni di $ m $...
Dovete perdonarmi ma la ragione però mi sfugge.proverò a pensarci..

Aleph_0 ha scritto:In conclusione la risposta sarebbe che un insieme di ordine $ n $ ha $ p(2^{n}) $ possibili topologie diverse, dove $ p(m) $ è il numero di partizioni di $ m $...

No, la risposta era che ha p(n) topologie distinte, non p(2^n).

scusate.. ma voi intendete a meno di omeomorfismi o no??

Io ho provato a contare le diverse topologie su un insieme di tre elementi e ne ho trovate 29..
Direi che c'è qualcosa che mi sfugge..

Probabilmente ho espresso male il problema o forse abbiamo diversi concetti di topologia finita o non so..

Il problema che ho postato non è affatto banale ma a quanto pare rimane ancora oggi insoluto. del tipo che non esiste una forma chiusa per il numero di topologie.
se qualcuno ne sapesse di più è pregato di farsi vivo.

Io comunque la storia del p(n) non l'ho mica capita...

La topologia, finita o infinita, e' una cosa sola ...
Il problema di contare quante topologie non equivalenti si possono mettere su un insieme finito e' un problema aperto ... si conoscono stime dal basso e dall'alto, ma non ci sono formule "chiuse" (qualunque cosa voglia dire) ne' formule per ricorsione.
Effettivamente la topologia su un insieme di 3 elementi puo' essere scelta (a meno di omeomorfismi) in 29 modi.
La faccenda delle partizioni non l'ho capita neanch'io ...

tanto per dare un velo di mistero alla faccenda, potrei dirti che contare le topologie e' lo stesso che contare i quasi ordini su X.

Dopo aver fatto un po' di ricerche sono arrivato anche io alle tue conclusioni. Quando ho postato il primo mex non mi aspettavo certo un problema così difficile.
Comunque su 3 sono 29 non a meno di omeomorfismi!

E' ineressante sapere anche che il numero di topologie T0 è lo stesso del numero di ordinamenti parziali dello stesso insieme..E un'altra cosa fantastica è che è un problema aperto anceh contare il numero di relazioni transitive per un insieme di n elementi.