Parametrizzazione naturale di una superficie

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BMcKmas
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Parametrizzazione naturale di una superficie

Messaggio da BMcKmas » 22 mar 2006, 12:27

Ho il seguente problema, forse classico in geometria differenziale, ma la cui soluzione ignoro.

Si può definire una parametrizzazione su una curva regolare, credo chiamata naturale, che associa a ogni punto una coordinata (ascissa curvilinea) che rappresenta la distanza con segno da un suo punto (origine), distanza misurata lungo la curva stessa.
Esiste un metodo per fare qualcosa di equivalente per una porzione di superficie?

Mi bastano superfici regolari topologicamente equivalenti al cerchio.

Qualsiasi suggerimento (compresi Links) è benvenuto.

Grazie a tutti..
BMcKMas

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AleX_ZeTa
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Messaggio da AleX_ZeTa » 22 mar 2006, 14:27

no, non si può. Dai un occhiata qui: http://www.dm.unipi.it/~abate/matdid/di ... 6_cap2.pdf
nelle prime due pagine. Comunque per vedere che non può esistere una parametrizzazione globale (quindi un diffeomorfismo fra un aperto di $ \mathbb{R}^2 $ e la superficie ti basta pensare alla sfera: non può essere diffeomorfa al piano (togli un punto, la sfera rimane semplicemente connessa, il piano no).

(le dispense complete le trovi a http://www.dm.unipi.it/~abate)
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 22 mar 2006, 14:44

Hmm calma ... allora :
1) cosa intendi con "regolare" e "topologicamente equivalenti al cerchio" ? soprattutto quest'ultima è poco chiara ... intendi superfici con bordo che siano immagine biunivoca e continua di un disco ?
2) fare la stessa cosa che fai per le curve vorrebbe dire trovare una parametrizzazione in qualche modo canonica, magari legata alla misura dell'area, come le parametrizzazioni rispetto alla lunghezza d'arco per le curve?

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 22 mar 2006, 15:26

Temevo di destare un vespaio che in gran parte dipende dalla mia ignoranza.

Per entrambe le domande credo che la risposta sia affermativa.

Intendevo una superficie semplice (anche regolare e differenziabile) che si ottiene per trasformazione continua uno a uno da un cerchio. Penso per esempio alla porzione di paraboloide $ z=x^2+y^2 $ definito nel semicerchio $ x^2+y^2<1 $ e $ y>0 $ .

Il mio è un problema pratico non legato alla possibilità di ottenere una soluzione in generale per tutte le superfici.

Grazie della pazienza che dimostri nel cercare di comprendere il problema.
BMcKMas

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Messaggio da EvaristeG » 22 mar 2006, 18:28

Innanzitutto, se quello con cui devi lavorare sono grafici di funzioni date, la scelta più ovvia per la parametrizzazione è quella data dall'essere grafico :
$ z=f(x,y) \Rightarrow \left\{\begin{array}{lll}x&=&u\\ y&=&v \\ z&=&f(u,v)\end{array}\right. $
x(u,v), y(u,v), z(u,v) forniscono una parametrizzazione che, pur non conservando le aree, le cambia comunque nel modo ovvio descritto dalle forme fondamentali della superficie.

In generale, se la tua superficie è descritta come luogo di zeri e a te interessa una porzione su cui una delle derivate parziali sia non nulla, puoi sempre applicare localmente il teorema della funzione implicita e scrivere come grafico in quella zona la tua superficie...

Penso che una forma che conservi le aree non sia nè ovvia nè comoda da usare...

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 22 mar 2006, 19:06

Grazie per il consiglio ma questo tipo di parametrizzazione non mi basta perchè ha un livello di arbitrarietà troppo elevato. Forse è opportuno che ti spieghi il mio problema pratico. Faccio un esempio con le curve.
Supponi di avere due curve regolari $ \Gamma_A $ e $ \Gamma_B $ (anche con tangente definita) e vuoi trovare una legge 'ragionevole' 'semplice' e 'generale' che trasformi la prima nella seconda. Per fare questo è necessario associare a ogni punto di $ \Gamma_A $ un punto di $ \Gamma_B $. Mi rendo conto che l'associazione è assolutamente arbitraria ma un modo per farlo 'naturalmente' è quello di considerare l'ascissa curvilinea sulle due curve e applicare una semplice trasformazione lineare (in questo modo, detto in soldoni: al primo punto di $ \Gamma_A $ corrisponde il primo di $ \Gamma_B $ , al punto centrale il centrale, ecc.).

Volevo sapere è se una cosa simile si può fare con le superfici.

ciao
BMcKMas

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Messaggio da EvaristeG » 23 mar 2006, 21:31

Allora, per quel che ne so, la risposta è no ...

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