il buon teorema di Lagrange...

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tuvok
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il buon teorema di Lagrange...

Messaggio da tuvok » 08 mar 2006, 16:43

Voglio proporvi un bell' esercizio che mi è capitato recentemente in un compito di matematica:
sia $ F(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\exp({-t^4})\,dt $
Dopo aver dimostrato che $ F(x) $ è dispari e crescente su tutto il dominio, verificare che essa soddisfa alle condizioni del teorema di Lagrange nell'intervallo $ \lbrack-1;1\rbrack $, ossia che $ \exists x_0\in\lbrack-1;1\rbrack\mid F'(x_0)=\frac{F(1)-F(-1)}{1-(-1)} $
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Offidani
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Messaggio da Offidani » 08 mar 2006, 21:31

Spero di non avere confuso F con F' o roba simile

Poichè F(-1)= -F(1) dobbiamo trovare un punto "v" appartenente a [-1;1] tale che F'(v)=[F(1)+F(1)]/2=F(1). La derivata di F(x) è exp(-x^4) (formula fondamentale del calcolo integrale) che è decrescente e continua nell'intervallo [0;1]. Per il teorema dei valori intermedi essa assume tutti i valori compresi tra il massimo F'(0)=1 e il minimo F'(1)= 1/e. Quindi basta verificare che F(1) è compresa tra questi due valori per dimostare l'ipotesi. #

F(x) non è altro che l'area del sottografico di y=exp(-x^4) per x compreso tra 0 e x. Quindi è strettamente maggiore del rettangolo inferiore (quello che ha base x e altezza F'(x) ) e strettamente minore del rettangolo superiore (quello con base x e altezza F'(0) ) . Quindi, abbiamo che:
F'(x)*x<F(1)<F'(0)*x che con x=1 diventa:
F'(1)<F(1)<F'(0)
exp(-1)<F(1)<1
1/e<F(1)<1 che è cio che volevamo dimostrare al punto #

S4pho
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Messaggio da S4pho » 08 mar 2006, 21:59

Scusa ma cos'è exp? Intendete 10^ ?

Offidani
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Messaggio da Offidani » 08 mar 2006, 22:27

S4pho ha scritto:Scusa ma cos'è exp? Intendete 10^ ?
io ho inteso il numero di nepero, comunque la dimostrazione è (quasi) uguale

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tuvok
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Messaggio da tuvok » 09 mar 2006, 11:41

Scusa ma cos'è exp? Intendete 10^ ?
$ \exp({x})=e^x $
Io l'avevo risolto così: se $ F(x) $ soddisfa alle condizioni del teorema di Lagrange, allora $ \exists x_0\in\lbrack -1;1\rbrack \mid \displaystyle \int_{0}^{1}\exp({-t^4}) dt=F'(x_0)=\exp({-x_0^4}) $
Ma $ x_0 $ sicuramente esiste, poichè per il teorema della media sicuramente
$ \exists x_0 \in \lbrack 0;1 \rbrack \mid\frac{\int_{0}^{1}\exp({-t^4})dt}{1-0}=\exp({-x_0^4}) $
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