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In realtà è lo stesso concetto di integrale indefinito ad essere mal definito; infatti, seguendo la notazione degli integrali indefiniti, se si integra per parti tang(x) si arriva a "dimostrare" che 0= -1 . In realtà questo risultato significa solo che l'insieme delle funzioni che differiscono da 0 per una costante è uguale all'insieme delle funzioni che differiscono da -1 per una costante. Il risultato in sè altrimenti getta nel panico!

Per fugare i dubbi, l'integrale indefinito di una funzione $ f:U\to\mathbb{R} $ con U aperto della retta reale, è l'insieme $ \{g:U\to\mathbb{R}\ |\ g'(x)=f(x)\ \forall\ x\in U\} $.
Non mi sembra mal definito ...

mmmh, prendo un altro esempio:

integrale(1/(2+sen(x)))dx = 2/3^(1/2) * arctang((2 * tang(x/2) +1)/ 3^(1/2)) + c

basta fare l'incremento del termine al secondo membro tra 0 e 2 pi-greco per rendersi conto che quest'uguaglianza è sbagliata (l'incremento viene 0, mentre il valore dell'integrale è (2 * pi-greco)/3^(1/2) ), inoltre, l'integranda è definita e continua in tutto l'insieme dei reali, mentre la presunta primitiva non lo è nei punti (2k+1) * pi-greco con k intero relativo; però, derivando la presunta primitiva, si ottiene l'integranda. La definizione data da te, EvaristeG, mi sembra rispettata (ma potrei sbagliare!!), però "i conti non tornano"; facendo direttamente l'integrale definito invece, non sarei incappato in alcun errore, perchè mi sarei subito reso conto di dover "spezzare" l'integrale...

P.S. Chiedo scusa per la mia ignoranza in materia "LaTex"!

In effetti il "per ogni x appartenente ad U" non è rispettato, ma mi sembra che risolvendo l'integrale ce se ne renda conto solo "alla fine", è per queste ambiguità che non mi stanno molto simpatici gli integrali indefiniti ed estremizzo ciò dicendo che sono mal definiti

Ti sei risposto da solo ...