OliForum Matematico

Mi stavo chiedendo come calcolare $ \int\vert\cos{x}\vert\,dx $
Esiste un'espressione analitica per questo integrale indefinito?

(La sparo un po' a caso, spero sia giusta...)

Immagino tu debba distinguere i due casi, cioè quando $ cosx < 0 $ e $ cosx > 0 $.
L'integrale diventerebbe quindi rispettivamente:
$ \displaystyle \int -cosx dx = -senx + c $ e $ \displaystyle \int cosx dx = senx + c $.

Boh...

Io avevo pensato a una roba del tipo
$ \int\vert\cos{x}\vert\,dx=\frac{\vert\cos{x}\vert}{\cos{x}}\sin{x}+c $
non so se può essere verosimile...

dimpim ha scritto:(La sparo un po' a caso, spero sia giusta...)

Immagino tu debba distinguere i due casi, cioè quando $ cosx < 0 $ e $ cosx > 0 $.
L'integrale diventerebbe quindi rispettivamente:
$ \displaystyle \int -cosx dx = -senx + c $ e $ \displaystyle \int cosx dx = senx + c $.

Boh...

A me non convince... visto che $ |cosx| $ è non negativa, l'integrale dovrebbe essere non decrescente...

edriv ha scritto:Io avevo pensato a una roba del tipo
$ \int\vert\cos{x}\vert\,dx=\frac{\vert\cos{x}\vert}{\cos{x}}\sin{x}+c $
non so se può essere verosimile...

Secondo me è verosimile, ma mi pare che sia riconducibile alla situazione che ho scritto io.
Cioè:

Se $ cosx > 0 $ allora $ \displaystyle \frac{|cosx|}{cosx} = 1 $. Quindi il risultato dell'integrale è uguale a $ senx + c $; derivando ottieni $ cosx $.

Se invece $ cosx < 0 $ allora $ \displaystyle \frac{|cosx|}{cosx} = -1 $, e il risultato dell'integrale è uguale a $ -senx + c $; derivando: $ -cosx $.

Mi pare di non aver sbagliato. Ovviamente, in caso contrario, fatemi sapere.

resterebbe, però, il caso $ \cos x=0 $...

ficus2002 ha scritto:resterebbe, però, il caso $ cos x=0 $...

Uhm, già, anche questo è vero. Beh, però conferma la mia ipotesi...

Anche se la primitiva di $ \vert\cos{x}\vert $ non è definita per $ x=\frac{\pi}{2}+n\pi $, la funzione è comunque integrabile in qualunque intervallo $ \lbrack a;b\rbrack\subset\Re $, almeno credo...

Sì, tuvok ha ragione, nel post precedente mi ero sbagliato: quando si ha l'integrale di una derivata, la funzione primitiva è continua e derivabile (con derivata continua) in un intervallo $ I \subset \Re $.
Quindi (ammesso che la primitiva sia $ \frac{|cosx|}{cosx}senx+c $) cosx non può mai essere uguale a 0.

Provate ad immaginare la funzione (con c=0) che abbia derivata |cos(x)|
da 0 a pg mezzi è uguale a sen(x) ovviamente. Poi , da pg/2 a pg anzichè decrescere, sale (poichè la derivata è positiva anziche negativa), in maniera esattamente simmetrica a come sen(x) scende. Poi (anche se oramai ha raggiunto il valore 2) "sale" allo stesso modo del seno, fino a (3/2)*pg, in cui (mentre il seno decresceo e torna a 0) la tua funzione continua a salire fino a 4. Quindi la tua funzione è una "scaletta" che (detto molto rozzamente) , se scriviamo
x="quella parte minore di pigreco mezzi" + K pigreco mezzi, diventa
Y=sen(x) + k per k pari
e
Y=K-sen(x) per K dispari

Oppure, un po' meno rozza ma più difficle da leggere,
definendo:[x] = "parte intera di x"

F(x)= senx+[2x/(pg)] se [2x/pg] è pari
F(x)=[2x/pg]-sen(x) se [2x/pg] è dispari

Scusate se non so usare il Latex

(Ormai non riesco più a togliermelo dalla testa...)

Il Wolfram Integrator dà come soluzione $ \sqrt{cos^2x}\,\,tgx + c $. Non accetta le espressioni con modulo, ma le scritture $ |cosx| $ e $ \sqrt{cos^2x} $ sono equivalenti.

Tuttavia, mi pare che ci stiamo sempre girando attorno. Cioè: se $ cosx < 0 $ allora il risultato dell'Integrator diventa: $ -cosx \frac{senx}{cosx} + c $, ovvero $ -senx + c $.
Se invece $ cosx > 0 $ allora il risultato dell'Integrator è: $ cosx \frac{senx}{cosx} + c $, cioè: $ senx + c $.

Per il momento mi basta che alla mia prof non venga voglia di metterlo su un compito...

dimpim ha scritto:(Ormai non riesco più a togliermelo dalla testa...)

Il Wolfram Integrator dà come soluzione $ \sqrt{cos^2x}\,\,tgx + c $. Non accetta le espressioni con modulo, ma le scritture $ |cosx| $ e $ \sqrt{cos^2x} $ sono equivalenti.

Tuttavia, mi pare che ci stiamo sempre girando attorno. Cioè: se $ cosx < 0 $ allora il risultato dell'Integrator diventa: $ -cosx \frac{senx}{cosx} + c $, ovvero $ -senx + c $.
Se invece $ cosx > 0 $ allora il risultato dell'Integrator è: $ cosx \frac{senx}{cosx} + c $, cioè: $ senx + c $.

Per il momento mi basta che alla mia prof non venga voglia di metterlo su un compito...

Questo si, ma per far si che la funzione primitiva sia derivabile deve essere continua. Quindi devi far velece "c" in modo che non ci siano discontinuità quando |cos(x)| =0
Prova su un calcolatorea disegnare il grafico di F(x)= integrale da 0 a X di |cos(x)|

Ok, fatto. Questo è quello che mi fa vedere Derive:

Da neofita, propongo questa funzione

posto

$ Flp(x)=[(2x-\pi)/2\pi] $

dove $ [x] $ è la funzione che restituisce l'intero immediatamente inferiore o uguale a $ x $ (es : $ [-0.2]=-1 $ e $ [0.2]=0 $) allora, l'integrale (esatto) tra 0 e $ x $ di $ |cos(t)| $ diventa:

$ 2+2Flp(x)-sin(x-\pi Flp(x)) $


Se ti basta un'espressione analitica semplice (ma approssimata), puoi usare la seguente, che fornisce l'integrale con scostamenti entro 0.01 dal valore esatto per ogni x:

$ 2x/\pi+0.212207sin(2x)-0.0212207sin(4x) $


Se vuoi una precisione maggiore fammi sapere
ciao a tutti

dimpim ha scritto:Ok, fatto. Questo è quello che mi fa vedere Derive:

è esattamente quello che immaginavo (e che ho tentato di scrivere)
Non so se la forma estema che ho utilizzato sia corretta, però ho ricontrollato e mi sembra di si. Se qualcuno riesca a tradurre i miei geroglifici potrà confermare o smentire...