integrale valore assoluto

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tuvok
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integrale valore assoluto

Messaggio da tuvok » 05 mar 2006, 20:24

Mi stavo chiedendo come calcolare $ \int\vert\cos{x}\vert\,dx $
Esiste un'espressione analitica per questo integrale indefinito?
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dimpim
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Messaggio da dimpim » 06 mar 2006, 07:47

(La sparo un po' a caso, spero sia giusta...)

Immagino tu debba distinguere i due casi, cioè quando $ cosx < 0 $ e $ cosx > 0 $.
L'integrale diventerebbe quindi rispettivamente:
$ \displaystyle \int -cosx dx = -senx + c $ e $ \displaystyle \int cosx dx = senx + c $.

Boh... :roll:

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tuvok
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Messaggio da tuvok » 06 mar 2006, 14:16

Io avevo pensato a una roba del tipo
$ \int\vert\cos{x}\vert\,dx=\frac{\vert\cos{x}\vert}{\cos{x}}\sin{x}+c $
non so se può essere verosimile...
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edriv
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Messaggio da edriv » 06 mar 2006, 14:44

dimpim ha scritto:(La sparo un po' a caso, spero sia giusta...)

Immagino tu debba distinguere i due casi, cioè quando $ cosx < 0 $ e $ cosx > 0 $.
L'integrale diventerebbe quindi rispettivamente:
$ \displaystyle \int -cosx dx = -senx + c $ e $ \displaystyle \int cosx dx = senx + c $.

Boh... :roll:
A me non convince... visto che $ |cosx| $ è non negativa, l'integrale dovrebbe essere non decrescente...

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 06 mar 2006, 18:56

edriv ha scritto:Io avevo pensato a una roba del tipo
$ \int\vert\cos{x}\vert\,dx=\frac{\vert\cos{x}\vert}{\cos{x}}\sin{x}+c $
non so se può essere verosimile...
Secondo me è verosimile, ma mi pare che sia riconducibile alla situazione che ho scritto io.
Cioè:

Se $ cosx > 0 $ allora $ \displaystyle \frac{|cosx|}{cosx} = 1 $. Quindi il risultato dell'integrale è uguale a $ senx + c $; derivando ottieni $ cosx $.

Se invece $ cosx < 0 $ allora $ \displaystyle \frac{|cosx|}{cosx} = -1 $, e il risultato dell'integrale è uguale a $ -senx + c $; derivando: $ -cosx $.

Mi pare di non aver sbagliato. Ovviamente, in caso contrario, fatemi sapere.

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Messaggio da ficus2002 » 06 mar 2006, 19:13

resterebbe, però, il caso $ \cos x=0 $...

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 06 mar 2006, 20:25

ficus2002 ha scritto:resterebbe, però, il caso $ cos x=0 $...
Uhm, già, anche questo è vero. Beh, però conferma la mia ipotesi... :P

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tuvok
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Messaggio da tuvok » 06 mar 2006, 21:10

Anche se la primitiva di $ \vert\cos{x}\vert $ non è definita per $ x=\frac{\pi}{2}+n\pi $, la funzione è comunque integrabile in qualunque intervallo $ \lbrack a;b\rbrack\subset\Re $, almeno credo...
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dimpim
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Messaggio da dimpim » 07 mar 2006, 14:16

Sì, tuvok ha ragione, nel post precedente mi ero sbagliato: quando si ha l'integrale di una derivata, la funzione primitiva è continua e derivabile (con derivata continua) in un intervallo $ I \subset \Re $.
Quindi (ammesso che la primitiva sia $ \frac{|cosx|}{cosx}senx+c $) cosx non può mai essere uguale a 0.

Offidani
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Messaggio da Offidani » 08 mar 2006, 22:23

Provate ad immaginare la funzione (con c=0) che abbia derivata |cos(x)|
da 0 a pg mezzi è uguale a sen(x) ovviamente. Poi , da pg/2 a pg anzichè decrescere, sale (poichè la derivata è positiva anziche negativa), in maniera esattamente simmetrica a come sen(x) scende. Poi (anche se oramai ha raggiunto il valore 2) "sale" allo stesso modo del seno, fino a (3/2)*pg, in cui (mentre il seno decresceo e torna a 0) la tua funzione continua a salire fino a 4. Quindi la tua funzione è una "scaletta" che (detto molto rozzamente) , se scriviamo
x="quella parte minore di pigreco mezzi" + K pigreco mezzi, diventa
Y=sen(x) + k per k pari
e
Y=K-sen(x) per K dispari

Oppure, un po' meno rozza ma più difficle da leggere,
definendo:[x] = "parte intera di x"

F(x)= senx+[2x/(pg)] se [2x/pg] è pari
F(x)=[2x/pg]-sen(x) se [2x/pg] è dispari

Scusate se non so usare il Latex

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 10 mar 2006, 14:12

(Ormai non riesco più a togliermelo dalla testa...)

Il Wolfram Integrator dà come soluzione $ \sqrt{cos^2x}\,\,tgx + c $. Non accetta le espressioni con modulo, ma le scritture $ |cosx| $ e $ \sqrt{cos^2x} $ sono equivalenti.

Tuttavia, mi pare che ci stiamo sempre girando attorno. Cioè: se $ cosx < 0 $ allora il risultato dell'Integrator diventa: $ -cosx \frac{senx}{cosx} + c $, ovvero $ -senx + c $.
Se invece $ cosx > 0 $ allora il risultato dell'Integrator è: $ cosx \frac{senx}{cosx} + c $, cioè: $ senx + c $.

Per il momento mi basta che alla mia prof non venga voglia di metterlo su un compito... :P

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Messaggio da Offidani » 10 mar 2006, 19:01

dimpim ha scritto:(Ormai non riesco più a togliermelo dalla testa...)

Il Wolfram Integrator dà come soluzione $ \sqrt{cos^2x}\,\,tgx + c $. Non accetta le espressioni con modulo, ma le scritture $ |cosx| $ e $ \sqrt{cos^2x} $ sono equivalenti.

Tuttavia, mi pare che ci stiamo sempre girando attorno. Cioè: se $ cosx < 0 $ allora il risultato dell'Integrator diventa: $ -cosx \frac{senx}{cosx} + c $, ovvero $ -senx + c $.
Se invece $ cosx > 0 $ allora il risultato dell'Integrator è: $ cosx \frac{senx}{cosx} + c $, cioè: $ senx + c $.

Per il momento mi basta che alla mia prof non venga voglia di metterlo su un compito... :P
Questo si, ma per far si che la funzione primitiva sia derivabile deve essere continua. Quindi devi far velece "c" in modo che non ci siano discontinuità quando |cos(x)| =0
Prova su un calcolatorea disegnare il grafico di F(x)= integrale da 0 a X di |cos(x)|

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 10 mar 2006, 19:24

Ok, fatto. Questo è quello che mi fa vedere Derive:
Immagine

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 14 mar 2006, 11:04

Da neofita, propongo questa funzione

posto

$ Flp(x)=[(2x-\pi)/2\pi] $

dove $ [x] $ è la funzione che restituisce l'intero immediatamente inferiore o uguale a $ x $ (es : $ [-0.2]=-1 $ e $ [0.2]=0 $) allora, l'integrale (esatto) tra 0 e $ x $ di $ |cos(t)| $ diventa:

$ 2+2Flp(x)-sin(x-\pi Flp(x)) $


Se ti basta un'espressione analitica semplice (ma approssimata), puoi usare la seguente, che fornisce l'integrale con scostamenti entro 0.01 dal valore esatto per ogni x:

$ 2x/\pi+0.212207sin(2x)-0.0212207sin(4x) $


Se vuoi una precisione maggiore fammi sapere
ciao a tutti :wink:
BMcKMas

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Messaggio da Offidani » 16 mar 2006, 20:07

dimpim ha scritto:Ok, fatto. Questo è quello che mi fa vedere Derive:
Immagine
è esattamente quello che immaginavo (e che ho tentato di scrivere)
Non so se la forma estema che ho utilizzato sia corretta, però ho ricontrollato e mi sembra di si. Se qualcuno riesca a tradurre i miei geroglifici potrà confermare o smentire...

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