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disuguaglianza dimensioni nuclei
Inviato: 04 mar 2006, 19:24
da hexen
Sia $ A,B \in \mbox{End}(V) $. Mostrare che $ \dim \ker AB \leq \dim \ker A + \dim \ker B $. Non so come farlo...
(A esercitazione è venuto fuori come lemma per stimare la dimensione del nucleo di un endomorfismo composto con sé stesso evitando di dover calcolare il quadrato di una matrice di grandi dimensioni)
ciao
Inviato: 04 mar 2006, 21:49
da talpuz
x sta nel ker di AB se x sta nel ker di B, oppure B(x) sta nel ker di A
quindi dimKer(AB)<=dimKerB+dim(KerA(intersecato)ImB)<=dimKerB+dimKerA
torna?
Inviato: 05 mar 2006, 01:08
da hexen
nn mi tornano le stime (2a riga)
Inviato: 05 mar 2006, 01:37
da AleX_ZeTa
Come giustamente ha detto talpuz:
$ \ker AB = \ker B \cup (\ker A \cap \hbox{Im} B) $
perchè se $ AB(x) = 0 $ allora $ B(x) = 0 $ (quindi $ x \in \ker B $) oppure $ A(B(x)) = 0 $ (allora $ B(x) \in \ker A $, ma ovviamente $ B(x) \in \hbox{Im}B $)
quindi abbiamo che:
$ \dim \ker AB = \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
ma $ \dim \ker A \geq \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
quindi:
$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim \ker A $
Inviato: 05 mar 2006, 11:19
da talpuz
AleX_ZeTa ha scritto:
$ \ker AB = \ker B \cup (\ker A \cap \hbox{Im} B) $
a fare i pignoli questa è falsa in generale
gli x che annullano B annullano anche AB, e ok
ma gli x che stanno in ImB e in KerA non è detto che stiano in kerAB! quelli che ci stanno sono gli x tali che B(x) sta in KerA, che sarebbe B^-1(KerA)
inoltre non è detto che
$ \dim \ker AB = \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
(i due sottospazi a dx potrebbero intersecarsi)
di sicuro però vale la disuguaglianza, e il resto della stima funziona
Inviato: 05 mar 2006, 11:27
da AleX_ZeTa
oops che casino ho fatto -.-
Inviato: 05 mar 2006, 12:55
da hexen
talpuz ha scritto:
$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
ed ecco la prima disuguaglianza del 2° post... e la seconda?
Inviato: 05 mar 2006, 15:23
da hexen
talpuz ha scritto:x sta nel ker di AB se x sta nel ker di B, oppure B(x) sta nel ker di A
$ \ker AB = \ker B \cup B^{-1}(\ker A) $
poi
$ B^{-1}(\ker A) = \{ B^{-1} a : a \in \ker A \} $$ = \{ x:x \in Im B, x \in \ker A \} = \ker A \cap Im B $(*)
$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim (Im B \cap \ker A) $
$ \dim(Im B \cap \ker A) \leq \dim \ker A $
$ \dim \ker AB \leq \dim \ker A + \dim \ker B $, tesi.
Ma qualcuno non ha negato l'uguaglianza (*) ??
Inviato: 05 mar 2006, 15:25
da EvaristeG
$ \ker A\supset (\ker A\cap \textrm{Im}B)\Rightarrow \dim\ker A\geq\dim(\ker A\cap \terxrm{Im}B) $
Inviato: 05 mar 2006, 15:31
da hexen
EvaristeG ha scritto:$ \ker A\superset (\ker A\cap \textrm{Im}B) $
qual è il predicato?