Gruppi di Galois

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Pixel
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Gruppi di Galois

Messaggio da Pixel » 29 dic 2005, 17:12

Sapreste trovarmi l'ordine del gruppo di Galois associato al campo di spezzamento del polinomio $ x^5-2 $ su Q ?

Grazie mille
P. Andrea

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 29 dic 2005, 20:37

L'ordine del gruppo di galois è uguale al grado dell'estensione Q-campo di spezzamento, che dovrebbe essere 20 :D

Infatti il campo di spezzamento è $ \mathbb{Q}({\sqrt[5]{2}},\zeta) $ dove $ \zeta $ è una radice quinta primitiva dell'unità, e i polinomi minimi sono $ x^5-2 $ e $ x^4+x^3+x^2+x+1 $ rispettivamente. Inoltre, essendo 4 e 5 coprimi, $ \mathbb{Q}(\sqrt[5]{2}) $ e $ \mathbb{Q}(\zeta) $ sono disgiunti, quindi il grado del campo di spezzamento è il prodotto dei gradi, cioè 20.

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