Aiuto su una dimostrazione

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Rispondi
hos-juzamdjinn
Messaggi: 1
Iscritto il: 28 dic 2005, 19:50

Aiuto su una dimostrazione

Messaggio da hos-juzamdjinn » 28 dic 2005, 19:59

Spostato in Matematica non elementare. Francesco

Ciao è la prima volta che posto su questo forum quindi scusatemi se commetterò qualche errore!
Cmq ho questo problema:
volevo cercare una dimostrazione del fatto che il 26 sia l'unico intero compreso tra un quadrato (25) e un cubo (27).
Ora io ho trovato su internet la seguente dimostrazione:

PROBLEMA DEL 26 ( FERMAT)
Luigi Annunziata

IL PROBLEMA DI TROVARE UN INTERO CHE STIA TRA UN CUBO E UN QUADRATO LO SI PU0 ‘ RISOLVERE ANCHE CON QUESTA EQUAZIONE :

X^3 –1 = ( X + K )^2 +1 CON K = 1,2,3….( INTERO POSITIVO)

DA CUI SI HA :

X^3 –X^2 –2*K*X – K^2 –2 = 0

VOGLIAMO CAPIRE QUALI VALORI PUO’ ASSUMERE LA RADICE Xo CON K INTERO POSITIVO E IN PARTICOLARE IN CHE MODO SI POSSONO AVERE SOLUZIONI INTERE.

DALLE FAMOSE RELAZIONI TRA I COEFFICIENTI E LE RADICI DI UN’EQUAZIONE POLINOMIALE ABBIAMO CHE :

X1 +X2 +X3 = +1 ( OPPOSTO DEL COEFFICIENTE DI X^2 )

X1*X2 + X1*X3 + X2*X3 = -2*K ( COEFFICIENTE DI X)

X1*X2*X3 = +K^2+2 ( OPPOSTO DEL COEFFICIENTE NOTO )

SAPPIAMO CHE UN’EQUAZIONE DI TERZO GRADO O AMMETTE UNA RADICE REALE E DUE COMPLESSE CONIUGATE , OPPURE TRE RADICI REALI.

PER COSTRUZIONE DEL PROBLEMA ESSA DOVRA’ AMMETTERE SOLO UNA RADICE REALE SE NO SI AVREBBE L’ASSURDO DI AVERE TRE SOLUZIONI REALI AD UN DETERMINATO PASSO K .

QUESTO COMUNQUE LO SI PUO’ VEDERE CHIARAMENTE CON LO STUDIO DEL DISCRIMINANTE DELL’EQUAZIONE DI TERZO GRADO :

D = (q^2)/4 + (p^3)/27 con q= -k^2 – (2/3)*k –56/27 e p = -2*k –1/3

si vede chiaramente che ( (-k^2 –(2/3)*k –56/27)^2 ) /4 +( ( -2*k –1/3 )^3)/27 e’ una
quantità maggiore di zero per k >0 .

LA NOSTRA EQUAZIONE RISULTA QUINDI CARDANICA ( AMMETTE UNA SOLA RADICE REALE).

INOLTRE DATO CHE IL COEFFICIENTE NOTO E’ NEGATIVO ALLORA LA RADICE REALE E’ POSITIVA .

E :

1) - DAL COEFFICIENTE DI X^2 (-1) SI DEDUCE CHE :
Xo + (A+iB) + (A-iB) = 1

DUNQUE Xo +2A = +1

ORA DATO CHE 2A E’ PARI ALLORA Xo E’ DISPARI

PRIMA CONCLUSIONE A CUI SIAMO PERVENUTI E’ CHE SE ESISTE LA RADICE INTERA ESSA E’ DISPARI.

2) - STUDIAMO IL COEFFICIENTE DI X (-2*K)
-2*K = Xo ( A+ib) + Xo(A-ib) + (A^2 + B^2)

-2*K = Xo*A + Xo*A + ( A^2 + B^2)

-2*K = 2*Xo*A + ( A^2 + B^2)

DA QUESTA RELAZIONE SI DEDUCE CHE ESSENDOO –2*K UN NUMERO PARI, 2*XoA ANCH’ESSO PARI , ( A^2 + B^2 ) DEVE ESSERE UN NUMERO PARI .

SECONDA CONCLUSIONE A CUI SIAMO PERVENUTI E’ CHE IL PRODOTTO

DELLE DUE RADICI COMPLESSE ( CHE SAPPPIAMO CHE E’ UN NUMERO

REALE ) SE E’ INTERO , DEVE ESSERE UN NUMERO PARI.


3) - STUDIAMO ADESSO IL COEFFICIENTE NOTO :

-K^2 –2 = Xo * ( A^2 + B^2 ) ( PRODOTTO DELLE TRE RADICI )

SAPPIAMO CHE Xo E’ UN INTERO DISPARI E ( A^2 +B^2) UN INTERO PARI ,

ALLORA ESSENDO IL PRODOTTO DI UN DISPARI PER UN PARI , UN NUMERO
PARI , CONSEGUE :

-K^2 –2 , PARI E QUINDI K^2 E’ PARI CIOE’ IN DEFINITIVA K E’ UN
NUMERO PARI.

ABBIAMO TROVATO DALLO STUDIO DELL’EQUAZIONE CHE :

1) LA RADICE Xo SE E’ INTERA ESSA E’ DISPARI POSITIVA
2) IL PRODOTTO DELLE DUE RADICI COMPLESSE CONIUGATE SE E’ INTERO ESSO E’ UN NUMERO PARI
3) K DEVE ESSERE PARI PER RADICI INTERE

UN’ALTRA CONSIDERAZIONE CI PORTA AD AFFERMARE CHE A E B DEVONO

ESSERE ENTRAMBI DISPARI ( OVVIAMENTE SE SONO ENTRAMBI INTERI)..

DA P^2 +2 = D*2*d POSSIAMO RICAVARE DIVIDENDO TUTTO PER DUE
ANCORA UN’EGUAGLIANZA

Pp +1 = D*d NON C’E’ NESSUNA CONTRADDIZIONE IN QUESTO
MA SE A E B FOSSERO PARI SI HA :

P^2 +2 = D*2*p E DIVIDENDO PER DUE NON OTTERREMMO PIU’
UN ‘ EGUAGLIANZA

Pp +1 = D*P UN DISPARI NON PUO’ ESSERE UGUALE AL PRODOTTO
DI UN DISPARI PER UN PARI

AL PRIMO MEMBRO Pp E’ ANCORA UN PARI DATO CHE UN NUMERO PARI

ELEVATO AL QUADRATO QUANDO LO SI DIVIDE PER DUE RESTA UN NUMERO

PARI .

COMUNQUE QUESTO ULTIMO DISCORSO NON E’ ESSENZIALE AI FINI DELLA DIMOSTRAZIONE FINALE.


ORA ABBIAMO CHE DAL COEFFICIENTE NOTO ( OPPOSTO) :

( K^2 +2) / Xo = ( A^2 +B^2 )

E ( K^2 +2 ) / ( A^2 +B^2 ) = Xo

CON Xo E (A^2 +B^2 ) O ENTRAMBI INTERI O ENTRAMBI IRRAZIONALI

CON Xo DISPARI MA DI QUESTA SPECIE : 3, 7, 11, 15 ,….

CIOE’ Xo = 3 + 4N CON N=0,1,2,3….

E IN QUESTO MODO SI PUO’ AVERE A = 1,3,5,… CIOE’ UN NUMERO DISPARI IL CUI DOPPIO E’ INFERIORE DI UN’UNITA’ ( VEDASI COEFFICIENTE DI X^2) RISPETTO AD Xo.( SOLO PER A NON SI NESSUN DUBBIO CHE ESSO E’ INTERO SE Xo E’ INTERO)

CIOE’ POTREBBERO ESSERE SOLUZIONI INTERE DELL’EQUAZIONE SOLO ED ESCLUSIVAMENTE COMBINAZIONI DI QUESTO TIPO :

3 CON 1 E 1 IL PRIMO NUMERO E’ Xo .
7 CON 3 E 3
ECC. ECC.

SE NOI OSSERVIAMO UN ‘ ATTIMO LA RADICE INTERA 3 CHE SCATURISCE CON

K=2 SI VEDE CHE A=1 ( IL CUI DOPPIO E’ INFERIORE DI UNO RISPETTO AD Xo ) .

E ADESSO NON CI RESTA DA STUDIARE CHE UNA DI QUESTE DUE :

1)- (K^2+2) / Xo = (A^2+B^2)

2)- (K^2+2) / ( A^2+B^2) = Xo

RELAZIONI CON QUANTITA’ BEN DEFINITE .

A MIO PARERE CREDO CHE SIA PIU’ SEMPLICE DA STUDIARE UNA DI QUESTE DUE RELAZIONI PIUTTOSTO CHE LA SEGUENTE : A^3 = B^2 +2

RIPRENDIAMO ALLORA LA SECONDA RELAZIONE : (K^2+2)/(A^2+B^2)=Xo

OSSIA : (K^2+2) = (A^2+B^2) * Xo

VEDIAMO CHE IL TERMINE NOTO (K^2+2) E’ IL PRODOTTO IN DEFINITIVA

DI UN NUMERO PARI (A^2+B^2) PER UN NUMERO DISPARI (Xo) .

PER K = 2 ABBIAMO CHE (A^2+B^2) = 2 E Xo = 3.

E PER K > 2 COLL’ESISTENZA DI UN’ALTRA RADICE INTERA Xo >3 SI DOVRA’

AVERE PER FORZA ANCHE UN ALTRO VALORE INTERO DI : (A^2+B^2) , VALORE CHE

DEVE ESSERE MAGGIORE DI DUE .

IL CHE E’ IMPOSSIBILE DATO CHE (K^2+2) PUO’ ESSERE SCISSO SOLO IN QUESTO

MODO : 2 * D ,

CIOE’ L’UNICO PARI CHE RISULTA DIVISORE DI ESSO E’ IL NUMERO DUE .
.

CIOE’ SE PROVIAMO A DIVIDERE PER DUE IL TERMINE NOTO ( COSA POSSIBILE

DATO CHE ESSO E’ UN INTERO PARI PER K PARI ), RISULTA QUESTO :

(K^2)/2 + 2/2 = Pp +1 ( Pp S’INTENDE UN ULTERIORE NUMERO PARI )

Pp +1 E’ EVIDENTEMENTE UN INTERO DISPARI .

ALLA FINE ABBIAMO CHE IL TERMINE NOTO PER K>2 RISULTA UN PRODOTTO DEL

NUMERO DUE PER UN NUMERO DISPARI ( PER NUMERO DISPARI S’INTENDE

ANCHE IL PRODOTTO DI PIU’ NUMERI DISPARI).

E DATO CHE PER K>2 , (A^2+B^2) DEVE ESSERE MAGGIORE DI DUE ( IN EFFETTI

RISULTA ANCHE MAGGIORE DI Xo, LO SI VEDE CHIARAMENTE DALLO STUDIO DEL

COEFFICIENTE DI X^2) , CONSEGUE CHE NON CI SONO RADICI INTERE PER K>=4

COME VOLEVASI DIMOSTRARE.

Ma a me non torna la seguente parte della dimostrazione:
1)DAL COEFFICIENTE DI X^2 (-1) SI DEDUCE CHE :
Xo + (A+iB) + (A-iB) = 1
DUNQUE Xo +2A = +1
ORA DATO CHE 2A E’ PARI ALLORA Xo E’ DISPARI
PRIMA CONCLUSIONE A CUI SIAMO PERVENUTI E’ CHE SE ESISTE LA RADICE INTERA ESSA E’ DISPARI."



Ora questo mi torna se A è intero ma come faccio a dimostrarlo?

Se per esempio ho l'eq:

(x-2)*(x^2+x+1)=0

x^3-x^2-x-2=0

Dal coefficiente di x^2 (-1) deduco che Xo+2A=1 e che Xo è dispari ma questo è sbagliato visto che Xo=2 no? (infatti in questo caso A=-1/2 è 2A non è pari!)
Sto sbagliando o no?
Vi prego aiutatemi!
P.S. Se questa dimostrazione fosse sbagliata come si potrebbe dimostrare questo teorema?

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 29 dic 2005, 10:27

Salve, hos! Benvenuto sul forum, anche a nome di tutta comunità. Dunque, chiarisco subito che, per varie ragioni (non ultima delle quali tutto quell'insensato stampatello) non ho letto (né intendo farlo!) ciò che hai scritto! Però... se me lo consenti, tenterò comunque di dirti la mia.

Si vuole risolvere in interi l'equ. $ y^3 - x^2 = 2 $. Se soluzione esiste, $ y\equiv 1 \bmod 2 $, ché la quadratica $ x^2 + 2 \equiv 0 \bmod 4 $ è banalmente impossibile. Dunque $ x \equiv 1 \bmod 2 $, e perciò $ \gcd(x + i\sqrt{2}, x - i\sqrt{2}) = 1 $ in $ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}] $. Eppure $ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}] $ è un UFD, per cui $ y^2 = x^2 + 2 = (x + i\sqrt{2})(x - i\sqrt{2}) $ solo se esistono $ u, v \in \mathbb{Z} $ tali che $ x + i \sqrt{2} = (u+i v\sqrt{2})^3 $. Svolgendo il cubo ed eguagliando le parti immaginarie, ne risulta $ 3u^2 v - 2v^3 = 1 $, viz $ v = \pm 1 $. Da qui in avanti è tutta discesa...

Avatar utente
FrancescoVeneziano
Site Admin
Messaggi: 601
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa
Contatta:

Messaggio da FrancescoVeneziano » 29 dic 2005, 14:39

Un bel problema di teoria dei numeri!
Merita una spiegazione come si deve.

Dimostrare che 26 è l'unico numero tra un quadrato ed un cubo è un ottimo esempio di applicazione della teoria algebrica dei numeri.

Non so quanto tu sappia di quest'argomento, probabilmente poco, quindi cercherò di spiegarmi bene.

Dobbiamo trovare le soluzioni di

$ x^2+2=y^3 $

tra i numeri interi; per farlo, lavoriamo in $ \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] $, cioè con i numeri della forma $ a+b\sqrt{-2} $ con a e b interi. Naturalmente siamo interessati solo alle soluzioni costituite da interi"veri", ma useremo le proprietà di $ \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] $, un po' come a volte si deve passare per i complessi per risolvere delle equazioni a coefficienti e soluzioni reali.

Questa idea è utile perché i numeri di quella forma godono più o meno delle stesse proprietà degli interi: la somma ed il prodotto sono ancora di quella forma e, cosa molto importante e non immediata, esiste una scomposizione unica in fattori primi.


$ x^2+2=y^3 $


$ (x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})=y^3 $

I due fattori a sinistra non sono invertibili, perché un elemento di $ \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] $ è invertibile se e solo se $ |a^2+2b^2|=1 $, quindi, come per gli interi "usuali", gli invertibili di questo anello sono solo 1 e -1.

Per la fattorizzazione unica, se dimostriamo che i due fattori di sinistra sono coprimi in $ \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] $ possiamo concludere che sono entrambi dei cubi.
Se avessero un fattore in comune, questo sarebbe un fattore della differenza, che è $ -2\sqrt{-2} $ la cui scomposizione in primi è $ (\sqrt{-2})^3 $ e $ \sqrt{-2} $ è primo perché la sua norma è 2, che è primo in $ \mathbb{Z} $.

Ma x è un intero, e l'unico primo "vero" che è multiplo di $ \sqrt{-2} $ in $ \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] $ è 2; però sappiamo che x deve essere dispari, perché altrimenti $ x^2+2 $ darebbe resto 2 quando diviso per 4, e un cubo non dà mai resto 2.

Quindi i due fattori sono coprimi e pertanto si deve avere che
$ x+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3 $
e separatamente
$ x-\sqrt{-2}=(c+d\sqrt{-2})^3 $

Consideriamo, per esempio, la prima delle due equazioni, svolgendo il cubo ed uguagliando le parti reali ed immaginarie si ottiengono le due relazioni

$ x=a^3-6ab^2 $
e
$ 1=3a^2b-2b^3 $
dove a e b sono interi di $ \mathbb{Z} $.
Dalla seconda di queste relazioni si ricava che $ b=1 $ e $ a=\pm 1 $, e sostituendo questi valori nella prima si ottiene
$ x=\pm 5 $.
Pertanto x deve necessariamente essere 5 (o -5), e per questi valori c'è una soluzione con y=3.

Spero di essere stato chiaro, se vuoi ulteriori informazioni, o una dimostrazione che $ \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] $ è a fattorizzazione unica, o il calcolo analogo per $ x^2-2=y^3 $, chiedi pure, qui o tramite messaggi privati.

CaO
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

ReKaio
Messaggi: 565
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Terra degli Shura (pisa)
Contatta:

Messaggio da ReKaio » 29 dic 2005, 14:51

_k_

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 29 dic 2005, 15:01

FrancescoVeneziano ha scritto:Un bel problema di teoria dei numeri!
Merita una spiegazione come si deve.
Ma bene... Perciò quand'è che ce la farai vedere?! :? E piuttosto... Qualcuno fra voi altri illustri matematici sarebbe in grado di fornire una dimostrazione dettagliata che faccia impiego della teoria delle curve ellittiche? Gradiremmo molto, grazie...

sprmnt21
Messaggi: 559
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da sprmnt21 » 17 lug 2009, 09:54

ReKaio ha scritto:giusto per memoria
http://olimpiadi.ing.unipi.it/forum/mes ... ?977591336

e una dimostrazione del buon camillo
http://olimpiadi.ing.unipi.it/forum/mes ... ?978170354

Ciao a tutti.
Non riesco a recuperare questi messaggi. Qualcuno puo' recuperarli e renderli disponibili in qualche modo?

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 17 lug 2009, 20:26

e' cambiato il dominio ing.unipi.it => dm.unibo.it
sprmnt21 ha scritto:
ReKaio ha scritto:giusto per memoria
http://olimpiadi.dm.unibo.it/forum/mess ... ?977591336

e una dimostrazione del buon camillo
http://olimpiadi.dm.unibo.it/forum/mess ... ?978170354

Ciao a tutti.
Non riesco a recuperare questi messaggi. Qualcuno puo' recuperarli e renderli disponibili in qualche modo?
cmq non sono raggiungibili perche' cambiato anche modo di indirizzare le pagine (post decisamente molto vecchi)
:? se riesco a capire come ripescarli modifico
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

fph
Site Admin
Messaggi: 3657
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Messaggio da fph » 18 lug 2009, 09:50

Sono sicuramente nella sezione "vecchio forum", ma non credo che ci sia un modo facile di capire quali sono.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 18 lug 2009, 10:36

Un modo facile c'è: ricorrere a un deus ex machina.
Buona fortuna!

Ah, dimenticavo:
viewtopic.php?p=424
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

sprmnt21
Messaggi: 559
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da sprmnt21 » 19 lug 2009, 12:55

Tibor Gallai ha scritto:Un modo facile c'è: ricorrere a un deus ex machina.
Buona fortuna!

Ah, dimenticavo:
viewtopic.php?p=424
no. purtroppo non e' questo.

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 19 lug 2009, 13:01

Uno dei due è quello. L'altro appartiene al vecchissimo forum, che era online nel 2000, e che ora non penso sia più reperibile.
Per saperlo con sicurezza, ti conviene chiedere a MarxVilly.
Una volta trovato il forum, il thread si trova banalmente.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

Rispondi