interi di Gauss

[Martino]

moderator: L'algebra universitaria qui è MNE, non fatevi distrarre dal nome. --federico

Ciao a tutti.

Qualcuno mi potrebbe illuminare sugli interi di Gauss? Ovvero, $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex]? Sul mio testo di algebra c'è una "dimostrazione" del fatto che è dominio euclideo con la funzione $ |\ |^2 $, e che è dominio a fattorizzazione unica. Il gruppo delle unità è $ \{1,-1,i,-i\} $, e fin lì non ci piove. Il mio problema è: come faccio a determinare gli elementi irriducibili? Ci sono condizioni sufficienti affinché un intero di Gauss sia primo di Gauss? Come si calcola il MCD tra due elementi in $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex]?

Grazie, ciao.

[Marco]

Qualcuno mi potrebbe illuminare sugli interi di Gauss? Ovvero, $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex]? [...] come faccio a determinare gli elementi irriducibili? Ci sono condizioni sufficienti affinché un intero di Gauss sia primo di Gauss? Come si calcola il MCD tra due elementi in $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex]?

Dunque, l'anello degli i.d.G. è ben conosciuto e quindi i primi si caratterizzano tutti.

In particolare si trova che gli i.d.G. primi sono tutti e soli
(a) i primi razionali (i primi delle scuole medie, per capirci) congrui a 3 mod 4.
(b) i numeri che hanno norma un numero primo.

Che (a) implichi primo è facile (si fa con le norme).
Che (b) implichi primo è altrettanto facile e, di nuovo, si fa con le norme.

La cosa "difficile" da provare è che non ce ne sono altri. E' una dimostrazione abbastanza nota e, a mio parere, molto gradevole. Un suo corollario è un teorema famoso:

Un numero primo non congruo a 3 mod 4 è sempre esprimibile in modo unico come somma di due quadrati.

----

Per quanto riguarda l'MCD, la risposta ce l'hai dal nome stesso del dominio. I domini euclidei si chiamano così non certo perché sono stati studiati da Euclide, ma perché su di essi continua a "girare" l'algoritmo euclideo (divisioni successive) per il calcolo dell'M.C.D.

Il trucchetto è definire la divisione in modo che il resto abbia modulo minore del divisore. E con questo, l'algoritmo euclideo funziona senza cambiare di un nanometro.

Va meglio?

[Martino]

Grazie mille, va molto meglio. Il testo di algebra di cui parlavo si ostina talmente a farmi sembrare la materia "interessante" (come se potessi detestarla) che si dimentica dei dettagli, e di comporre in modo ordinato proposizioni, teoremi e dimostrazioni. Non avevo trovato una caratterizzazione dei primi di Gauss.

Una volta digerita tale caratterizzazione le cose sono molto più semplici ("tanto da sembrare banali"). Dove posso trovare una dimostrazione del viceversa? Ovvero che non ce ne sono altri?

Grazie, ciao.

[Marco]

Il testo di algebra di cui parlavo [...]

Per curiosità, di che libro si tratta? Sui campi di numeri algebrici, mi sento di consigliare il libro: Marcus "Number fields" (credo) Springer. Una forma editoriale orrida, ma molto, molto bello; da leggere solo se si ha capito bene il corso di Algebra I.

Dove posso trovare una dimostrazione del viceversa? Ovvero che non ce ne sono altri?

C'è un risultato, valido per i domini di Dedekind in generale, che dice che i primi [ideali primi] nell'estensione sono tutti e soli quelli che compaiono nella fattorizzazione dei primi nel campo di base.

Quindi la ricetta è: fattorizzati i primi razionali in $ \mathbf Z[ i] $ e vedi che ti salta fuori.

Il mio primo post [caso (a)] ti dice come si fattorizzano i primi =3 mod 4: sono inerti. 2 è un primo speciale, che va trattato a parte (e, guarda caso, è l'unico che risulti, fattorizzato negli IdG, un quadrato perfetto (!!) ): $ (2) = (1+i)^2 $.

Il difficile sono i primi =1 mod 4.

Come fai? Così: prendi, per fissare le idee, un primo siffatto (per esempio, 17). Due casi: resta inerte in IdG, oppurre si fattorizza. Il mio claim è che si fattorizzi.

Consideriamo il quoziente $ [tex] $\mathbf Z / 17 \mathbf Z[/tex] ["gli IdG modulo diciassette"]. Sappiamo che risulta in campo sse l'ideale $ [tex] $17 \mathbf Z[/tex] è primo.

Però sappiamo anche che -1 è un residuo quadratico modulo 17. [per essere precisi, $ -1 = (\pm 4 )^2 $]. Ne segue che, modulo 17, $ X^2 + 1 = (X+4)(X-4) $.

Questa fattorizzazione ci regala due divisori di zero nell'anello quoziente:

$ (i+4)(i-4) = i^2 - 16 \equiv i^2 + 1 = 0 \pmod{17} $.

Ma se ci sono i divisori di zero, vuol dire che non è un campo, e quindi che $ [tex] $17 \mathbf Z[/tex] si fattorizza.

Guardiamo adesso le norme: $ N(17) = 17^2 $. Si deve fattorizzare e la norma dei fattori deve essere un divisore non banale della norma del prodotto. Quindi esistono due primi $ P_1 $ e $ P_2 $ (per ora non sappiamo se sono distinti oppure no. In verità, c'è un altro teorema che ti dice che sono distinti, ma lasciamo perdere) tali per cui

$ (17) = \left( P_1 \right) \left( P_2 \right) \qquad N\left( P_1 \right) = N\left( P_2 \right) = 17 $.

Quindi, in sostanza, abbiamo dimostrato che un primo razionale p [nel mio esempio, p=17] si fattorizza sse -1 è residuo quadratico mod p.

D'altra parte, sappiamo che per tutti i primi =1 mod 4, -1 è residuo quadratico, e quindi tutto funziona come prima. []

[HiTLeuLeR]

[...] Il difficile sono i primi =1 mod 5. [...]

Semplicemente ti segnalo un typo. E ne approfitto per rivolgerti personalmente gli auguri di un felice 2006, Marco.

[Marco]

Oh, sì, hai più che ragione. Correggo. Buon anno anche a te e a tutti gli altri utenti del Forum. Ciao.

M.