Topologia: normale + separabile => numerabile II specie

[HiTLeuLeR]

E' noto che ogni spazio metrico separabile è pure numerabile di seconda specie, con riferimento alla topologia indotta dalla metrica. Del resto, ogni spazio metrico è pure normale. E allora ecco il domandone:

Sarà forse vero, più in generale, che ogni spazio normale e separabile è pure numerabile di seconda specie?

Divertitevi...

[publiosulpicio]

No, non è vero. Rilancio un po' il problema: provare che uno spazio normale e separabile può non essere nemmeno primo numerabile.

[HiTLeuLeR]

Rispetto alla consueta topologia metrica, $ \mathbb{R} $ è uno spazio completamente normale. Dunque $ \mathbb{R}^\mathbb{R} $ è normale nella topologia del prodotto. D'altro canto, $ \mathbb{R}^\mathbb{R} $ è pure separabile, per via del teorema di Hewitt-Marczeski-Pondiczery. Tuttavia non è numerabile del primo tipo: questo si può dimostrare ammettendo per assurdo che la funzione identicamente nulla possieda una base locale numerabile di aperti, per quindi giungere a una contraddizione usando essenzialmente un argomento di tipo diagonale analogo a quello impiegato da Cantor per provare la non numerabilità dei reali.

[publiosulpicio]

Io pensavo a qualcosa di decisamente più semplice, ma anche l'esempio di Hit funziona...incito quindi a cercare altri esempi.