Topologia: normale + separabile => numerabile II specie

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HiTLeuLeR
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Topologia: normale + separabile => numerabile II specie

Messaggio da HiTLeuLeR » 30 nov 2005, 00:39

E' noto che ogni spazio metrico separabile è pure numerabile di seconda specie, con riferimento alla topologia indotta dalla metrica. Del resto, ogni spazio metrico è pure normale. E allora ecco il domandone:

Sarà forse vero, più in generale, che ogni spazio normale e separabile è pure numerabile di seconda specie?

Divertitevi... :mrgreen:

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 30 nov 2005, 16:47

No, non è vero. Rilancio un po' il problema: provare che uno spazio normale e separabile può non essere nemmeno primo numerabile.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 30 nov 2005, 22:48

Rispetto alla consueta topologia metrica, $ \mathbb{R} $ è uno spazio completamente normale. Dunque $ \mathbb{R}^\mathbb{R} $ è normale nella topologia del prodotto. D'altro canto, $ \mathbb{R}^\mathbb{R} $ è pure separabile, per via del teorema di Hewitt-Marczeski-Pondiczery. Tuttavia non è numerabile del primo tipo: questo si può dimostrare ammettendo per assurdo che la funzione identicamente nulla possieda una base locale numerabile di aperti, per quindi giungere a una contraddizione usando essenzialmente un argomento di tipo diagonale analogo a quello impiegato da Cantor per provare la non numerabilità dei reali.

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 dic 2005, 18:32

Io pensavo a qualcosa di decisamente più semplice, ma anche l'esempio di Hit funziona...incito quindi a cercare altri esempi.

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