OliForum Matematico

La densità non è certo un concetto elementare, anche se qui poteva essere riformulato in termini di approssimazione; cmq il problema non è olimpico e a quanto pare il propositore non conosce la risposta. Quindi lo sposto in MNE.

EvaristeG
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Sia A il sottoinsieme dei razionali con numeratore e denominatore primi . Secondo voi A è denso in R? Questo problema tormenta dei matematici miei amici, aiutatemi ad umiliarli!
Scherzi a parte, ogni aiuto sarebbe gradito.

Il problema pare interessante e sinceramente non capisco perchè sia stato spostato. Non mi pare nemmeno necessario riformulare il problema in termini di approssimazione ma soprattutto non è necessaria una definizione rigorosa nè raffinata del concetto di densità.
Dimostrare che $ A=\{{\frac{p}{q}: p,q\ primi\} $ è denso in $ \mathbb{R} $ equivale a dimostrare che per ogni coppia di reali a,b esiste un elemento di A compreso tra i due.
La dimostrazione sicuramente non sarà banale ma il fatto che il problema non sia olimpico e Paddo non ne conosca la risposta non ne fa un quesito inaccessibile.

Se ora qualcuno ha qualcosa da aggiungere in merito al problema è ben accetto visto che è elementare nella formulazione ma profondo, a mio parere quindi molto bello.

allora ... (uffa) ... innanzitutto un problema non finisce in matematica non elementare perchè è inaccessibile, ma per uno dei seguenti motivi (di solito) :
1) è spiccatamente una questione di matematica universitaria
2) non se ne sa la soluzione (e soprattutto non si sa se ne esiste una elementare)
3) non è di carattere olimpico (ad es. problemi di analisi di V liceo o simili)
Questo quesito di paddo rientra appieno nella categoria 2) e abbastanza nella categoria 3).
A mio parere (o meglio, secondo la mia ignoranza in materia) potrebbe anche rientrare di forza nella 1), in quanto mi sembra che in questo problema possano rientrare considerazioni sulla natura e la distribuzione dei primi tutt'altro che banali.
Se poi qualcuno trova una dimostrazione elementare e olimpica, ben venga.

Detto ciò, la solita definizione di densità riguarda la topologia; la definizione che usi tu è quella che io ho classificato con "approssimazioni", in quanto porta ad esempio a dire che i razionali sono densi nei reali dicendo che tra ogni due reali c'è un razionale, ovvero sfruttando l'assioma di archimede (dati a,b reali esiste sempre n intero per cui na>b)...questa tecnica di solito si usa poi per dire che con numeri razionali si può approssimare qualunque numero reale ...
Non si tratta di definizioni più rigorose o più raffinate, solo che è lecito chiedersi se quella sia la forma più opportuna per affrontare il problema...un eventuale (anche se improbabile) ricorso alla topologia renderebbe di certo il problema ancor meno elementare.

Infine vorrei precisare che questa sezione del forum non è off limits per gli utenti non universitari, quindi non ho sottratto il problema ai suoi solutori, l'ho solo spostato nella sede più opportuna ... ricordo a questo proposito che da qualche parte esiste anche un post sulla suddivisione degli argomenti nel forum ... dovrebbe essere nel comitato di accoglienza.

Tanto per la cronaca (e tanto per fare una figuraccia se qualcuno poi trova la soluzione elementare), già solo mostrare che gli elementi della forma data sono densi attorno a 1 mi sembra tutt'altro che banale ...

Si vince qualche cosa se si dimostra che sono densi attorno a 0?
Ok. Sto scherzando...

Ricordo a jabberwocky (ed a tutti) che per discutere sulle decisioni dei mods e sui criteri che le guidano esistono altre categorie di thread. Qui si parla solo di razionali con numeratore e denominatore primi.
Buon proseguimento.

1ª premessa: sono molto profano in materia.
2ª premessa: mi piace parlare di cose che non conosco.

tesi: parlo di questa materia.

Dimostrazione: innanzitutto possiamo ricondurci all'intervallo [0,1], poi basterà fare i reciproci (tanto 0 non è primo) per estendere a tutti i reali positivi.
Essendo distribuiti abbastanza "a casaccio" secondo me si riesce sempre a rovarne due il cui rapporto è arbitrariamente vicino ad un qualunque reale. Parto da una prima approsimazione grossolana ma ragionevole, poi moltiplico epr dieci numeratore e denominatore e dai nuovi valori mi sposto (verso destra o sinistra a seconda delle necessità) fino al primo primo che incontro. Itero il procedimento.

Per esempio per pi greco, partendo da 7/2, si ottiene la successione
7/2 = 3,5
71/23 = 3,09
719/229 = 3,1397
7187/2287 = 3,1425
71867/22871 = 3,1422
...

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modificato perché non leggeva il carattere di pi greco

Ehm... non è molto chiaro perchè tutto ciò converga... (e a cosa...)

moebius ha scritto:Ehm... non è molto chiaro perchè tutto ciò converga... (e a cosa...)

Non ho inteso dimostrare nulla e lo so, ho solo cercato di adattare la definizione di nmero reale (come successione convergente di razionali) usando soltanto i primi invece dei naturali.
Il perché converge lo intuisco, ma non so dimostrarlo, a cosa converga, spero a pi greco.
Mi accorgo solo ora che il carattere del pi greco è stato sostituito da un ?;
vado a correggerlo per chiarezza, senza tirare in ballo LaTeX che non mi sembra il caso.

desko ha scritto:Essendo distribuiti abbastanza "a casaccio" secondo me si riesce sempre a rovarne due il cui rapporto è arbitrariamente vicino ad un qualunque reale.

E questa è la tesi, ridetta in altro modo.

desko ha scritto:Parto da una prima approsimazione grossolana ma ragionevole, poi moltiplico epr dieci numeratore e denominatore e dai nuovi valori mi sposto (verso destra o sinistra a seconda delle necessità) fino al primo primo che incontro.

Ecco. Qui sta il "baco" del ragionamento. Nessuno ti garantisce che il primo primo sia abbastanza vicino. Dato che i numeri primi sono tanti e sono frequenti, a spanne ci aspettiamo di cioccare contro un primo abbastanza presto.

Purtroppo però esistono delle sequenze disgraziate, composte da un mucchio di numeri composti consecutivi. Se capiti lì in mezzo, potresti non farcela.

Un facile esercizio: dimostrare quando ha detto Marco, cioé mostrare che $ \forall n \in \mathbb{N} $ esistono $ n $ interi consecutivi, tutti composti.

Marco ha scritto:Ecco. Qui sta il "baco" del ragionamento. Nessuno ti garantisce che il primo primo sia abbastanza vicino. Dato che i numeri primi sono tanti e sono frequenti, a spanne ci aspettiamo di cioccare contro un primo abbastanza presto.

Purtroppo però esistono delle sequenze disgraziate, composte da un mucchio di numeri composti consecutivi. Se capiti lì in mezzo, potresti non farcela.

Ottima obiezione.
Ma secondo me (ragionando sempre un po' a spanne) i circostanze come questa si può cercare di saltare ad ogni passaggio non di un solo ordine di grandezza, ma anche di più.
Nel mio esempo, se fra 71 e 7187 non ci fosse stato nessun primo, allora avrei potuto saltare il 719.
In altre parole, se il primo primo è molto grande dovrò scegliere l'altro (e.g il denominatore) non al primo valore che incontro, ma ad un valore "proporzionale".
Ma mi rendo conto che ho solo spostato il problema. Ma rimango convinto che qualcosa si possa dire.

publiosulpicio ha scritto:Un facile esercizio: dimostrare quando ha detto Marco, cioé mostrare che $ \forall n \in \mathbb{N} $ esistono $ n $ interi consecutivi, tutti composti.

Sarà la quarta/quinta volta che questo problema viene riproposto sulle pagine del nuovo forum...

Paddo ha scritto: Sia A il sottoinsieme dei razionali con numeratore e denominatore primi . Secondo voi A è denso in R? Questo problema tormenta dei matematici miei amici, aiutatemi ad umiliarli!

Scarsini, questi [tuoi amici] matematici! Solo due hints: D.'s th for A.P. e C.'s th. revisited&improved by L.&Y.