Topologia: regolarità e numerabilità vs normalità

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Rispondi
Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Topologia: regolarità e numerabilità vs normalità

Messaggio da HiTLeuLeR » 31 ott 2005, 12:17

E' noto che ogni spazio topologico regolare e numerabile di seconda specie è pure uno spazio topologico normale. Ecco allora i problemi:

1. Esibire l'esempio di uno spazio topologico normale che non sia numerabile di seconda specie.

2. Esibire l'esempio di uno spazio topologico regolare e numerabile di prima specie che non sia anche normale.

Giusto per chiarezza, diciamo che uno spazio topologico $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ è

- regolare se è di Hausdorff e separa i punti dai chiusi;

- normale se è di Hausdorff e separa i chiusi dai chiusi;

- numerabile di I specie se, comunque scelto un punto $ p \in \mathcal{S} $, esiste una famiglia numerabile $ \{U_i\}_{i\in\mathbb{N}} $ di intorni del punto tale che, per ogni altro intorno $ U $ di $ p $, esista un qualche $ i \in \mathbb{N} $ per cui $ U_i \subseteq U $;

- numerabile di II specie se la topologia possiede una base numerabile (di aperti).

publiosulpicio
Messaggi: 774
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da publiosulpicio » 31 ott 2005, 13:02

La domanda è interessante, quindi pensateci, ma se proprio non trovate la soluzione segnalo un interessantissimo testo al riguardo: "Counterexamples in Topology" di Steen e Seebach. Ci troverete tutti i controesempi possibili su spazi topologici, è davvero bello!

Avatar utente
moebius
Messaggi: 433
Iscritto il: 08 mag 2005, 19:14

Messaggio da moebius » 01 nov 2005, 17:04

Hmmm per il primo....
Se prendiamo $ \mathbb{R} $ (ma dovrebe andare bene qualsiasi insieme di cardinalità più che numerabile) con la topologia discreta?
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 nov 2005, 17:27

Sì, moebius, va più che bene (seppure sia un po' *troppo* banale)... :lol:

Rispondi