Boreliani e parti

[Martino]

Ciao a tutti.

È data $ B(\mathbb{R}) $, la $ \sigma $-algebra dei boreliani di $ \mathbb{R} $, definita come la $ \sigma $-algebra generata dall'insieme delle unioni finite disgiunte di intervalli del tipo $ (a,b] $, con $ a,b \in \mathbb{R} $, $ a<b $, che è un'algebra.
Ora non so se questo sia stato già discusso, ma come si dimostra che $ B(\mathbb{R}) $ non coincide con l'insieme delle parti di $ \mathbb{R} $?

[publiosulpicio]

Si può dimostrare in questo modo: la $ \sigma $-algebra di borel è ovviamente anche quella generata dagli intervalli a coordinate razionali, quindi si tratta di una $ \sigma $-algebra a base numerabile. Ora si può dimostrare, ed è un simpatico e non troppo facile esercizio (ma fattibile), che una $ \sigma $-algebra a base numerabile ha la cardinalità del continuo, e quindi non può contenere le parti di $ \mathbb{R} $.
Una dimostrazione costruttiva è più complessa invece, comunque se sei interessato chiedi.

[Martino]

Grazie, sarei interessato alla dimostrazione. Se è troppo complessa puoi semplicemente dirmi dove la posso trovare, o anche solo l'idea generale. E poi cosa si intende per "base" di una $ \sigma $-algebra?

Ciao

[publiosulpicio]

Sia $ S \subseteq X $ un sottoinsieme di $ X $ e sia $ M\subseteq P(X) $ la $ \sigma $-algebra minimale (rispetto all'inclusione insiemistica) che contiene $ S $. Allora $ S $ è una base per $ M $.
Per quanto riguarda la dimostrazione sicuramente in rete da qualche parti la trovi, ma è interessante pensarci, non è troppo difficile.
Se invece volevi una soluzione costruttiva la cosa è più complessa...c'è bisogno di un po' di teoria della misura, e se vuoi fare le cose in fretta dell'assioma della scelta (costruendo un insieme che non stia neanche nella $ \sigma $-algebra di Lebesgue).

Anzi, ripensandoci a te serve solo che $ |B(\mathbb{R})| \leq \aleph_1 $, e questo è decisamente non impegnativo se pensi a quanto ho detto prima sugli intervalli a estremi razionali.

[fph]

http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Vitali

Se questo insieme fosse Boreliano allora sarebbe anche misurabile secondo Lebesgue, quindi...

[Martino]

L'insieme di Vitali è veramente stupefacente!

Grazie, ciao.