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Vi propongo il seguente problema.

Sia ABCD un quadrato con lato di lunghezza 1. Dividiamo il quadrato in 4 quadrati di uguale area. Togliamo quindi il quadrato in alto a destra. Iteriamo il metodo dividendo i due quadrati adiacenti in 4 quadratini di eguale misura e togliamo sempre i quadrati in alto a destra di ciascuna suddivisione. Procediamo così.

Notiamo che la spezzata che si viene a creare dal punto A al punto D dei lati integri del quadrato originale ha sempre lunghezza 2.

Iterando il metodo "all'infinito" si forma la diagonale del quadrato con lunghezza 2.

Mi potreste dire in che cosa fallisce tutto questo discorso???

In niente.

La curva limite, ha lunghezza $ \sqrt{2} $ e non $ 2 $, se capisco il tuo problema. Credo che ci siano problemi di convergenza uniforme delle derivate...

metafisic ha scritto:La curva limite, ha lunghezza $ \sqrt{2} $ e non $ 2 $, se capisco il tuo problema. Credo che ci siano problemi di convergenza uniforme delle derivate...

Mi spiace ma qui le derivate non hanno nulla a che fare con il problema. Questo frattale non è derivabile in nessun punto, l'unica possibile derivata la puoi calcolare sulla curva limite (la nostra diagonale quindi).

In ogni caso se procedi rigorosamente arrivi alla mia stessa conclusione, ovvero questo famigerato 2.

Beh, secondo me fallisce nel fatto che tu ti aspetti che le lunghezze debbano convergere alla lunghezza del limite. In realtà non c'è nessun teorema che ti dice che questo deve succedere (anzi, definire la "lunghezza" di una cosa di dimensione 1 nel piano di per sé è una cosa complicata), e infatti non succede.

Questo è anche il motivo per cui il ragionamento di Archimede per calcolare pi greco approssimando la circonferenza con delle spezzate "da dentro" e "da fuori" non funziona così bene (o meglio, per funzionare funziona ma giustificarlo pienamente è tutt'altro che banale).

ciao,

Allora, il fatto che in ogni punto una successione di curve tenda ad una data curva non assicura che la lunghezza di queste tenda alla lunghezza della curva finale.
La lunghezza di una curva è legata alla sua derivata, quando ce l'ha e, mi dispiace dirtelo, le curve che tu usi sono tutte derivabili tranne un numero finito di punti.
Queste derivate, dove esistono, rimangono sempre 1 o -1 (gira il tutto finchè la diagonale è l'asse x), mentre la curva finale ha derivata ovunque 0, quindi le lunghezze delle curve che tu trovi non possono tendere alla lunghezza della curva limite.

fph ha scritto:Beh, secondo me fallisce nel fatto che tu ti aspetti che le lunghezze debbano convergere alla lunghezza del limite. In realtà non c'è nessun teorema che ti dice che questo deve succedere (anzi, definire la "lunghezza" di una cosa di dimensione 1 nel piano di per sé è una cosa complicata), e infatti non succede.

Questo è anche il motivo per cui il ragionamento di Archimede per calcolare pi greco approssimando la circonferenza con delle spezzate "da dentro" e "da fuori" non funziona così bene (o meglio, per funzionare funziona ma giustificarlo pienamente è tutt'altro che banale).

ciao,

Comprendo, ma non capisco come mai non converga alla radice di 2. La diagonale è quella, nonostante sia creata in maniera diversa. E' sicuramente una retta, quindi non può non misurare radice di 2.

E poi seguendo il tuo esempio, come nelle approssimazioni fatte da Archimede, dovrebbero funzionare ma non essere facilmente spiegabile......

Inoltre vi ricordo che qui non parliamo di funzioni asteratte o particolari funzioni analitiche, se neghiamo la possibilità di convergenza della spezzata neghiamo anche indirettamente che le spezzate di Archimede convergano alla circonferenza!!!

EvaristeG ha scritto:Allora, il fatto che in ogni punto una successione di curve tenda ad una data curva non assicura che la lunghezza di queste tenda alla lunghezza della curva finale.
La lunghezza di una curva è legata alla sua derivata, quando ce l'ha e, mi dispiace dirtelo, le curve che tu usi sono tutte derivabili tranne un numero finito di punti.
Queste derivate, dove esistono, rimangono sempre 1 o -1 (gira il tutto finchè la diagonale è l'asse x), mentre la curva finale ha derivata ovunque 0, quindi le lunghezze delle curve che tu trovi non possono tendere alla lunghezza della curva limite.

Il punto è che tu dovresti via via trattare dei segmenti di curva con le loro derivate e calcolarne le lunghezze via via più piccole con il crescere del numero di detti segmenti. In ogni caso ci troveremmo davanti ad una spezzata che converge al segmento diagonale ma non alla sua misura......

Vi chiedo dunque: è questo un caso di convergenza puntuale, ma non di convergenza uniforme?

Ti ripeto che la convergenza delle funzioni (anche uniforme) non assicura la convergenza delle lunghezze. Quello che serve per la convergenza delle lunghezze è la convergenza delle derivate (penso basti puntuale), sicuramente ... forse basta meno, ma non è strano che in questo caso la lunghezza non converga.
Prova a considerare le curve
$ f_n(x)=1/x^n $
esse convergono a f==0, ma sull'intervallo [0,1] le loro lunghezze non convergono a quella del segmento.

khristian ha scritto:Vi chiedo dunque: è questo un caso di convergenza puntuale, ma non di convergenza uniforme?

No. La convergenza è uniforme: al primo passaggio la distanza massima è mezza diagonale. Al secondo è diagonale/4. Al terzo diagonale/8. Più uniforme di così...

Questo mi sembra un problema classico, che ho visto sui libri di analisi. Si può risolvere citando le proporzioni. Se tracci la diagonale vedi che la figura delimitata dalla spezzata e la diagonale stessa è una sequenza di 2^n triangoli rettangoli isosceli (dove n è il numero di divisioni del quadrato). I cateti formano la spezzata, gli ipotenusa la diagonale. Come vedi le proporzioni si mantengono. La verifica banale: $ \[ c_n \] $ è la lunghezza del cateto alla n-esima divisione, mentre $ \[ d_n \] $ la lunghezza dell'ipotenusa. Tu sai che per ogni n $ \[ d_n = (\sqrt 2 )c_n \] $

$ \[ \begin{array}{l} L_{spezzata} = 2^{n + 1} c_n \\ L_{diagonale} = 2^n d_n \\ \Rightarrow L_{spezzata} = (\sqrt 2 )L_{diagonale} ,\forall n \\ \end{array} \] $

khristian ha scritto: Comprendo, ma non capisco come mai non converga alla radice di 2. La diagonale è quella, nonostante sia creata in maniera diversa. E' sicuramente una retta, quindi non può non misurare radice di 2.

Provo a metterla così:
La successione 1,9 -- 1,99 -- 1,999 -- 1,9999 ... converge a 2, però l'ultima cifra decimale è sempre 9 e NON converge all'ultima cifra decimale di 2. D'altra parte, converrai, non ha molto senso aspettarsi che l'ultima cifra decimale debba convergere all'ultima cifra decimale del limite.
Allo stesso modo, la successione di spezzate converge sì alla diagonale del quadrato, ma non ha senso aspettarsi che le loro lunghezze convergano alla lunghezza della diagonale. In qualche caso questo succede, ma perché ci sono ipotesi aggiuntive (alcuni parlavano della convergenza della derivata...). Però in generale non dobbiamo aspettarci che succeda.

così forse è più chiaro?
ciao,