f:R->R, f cont su Q, f noncont su R-Q

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Alex85
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f:R->R, f cont su Q, f noncont su R-Q

Messaggio da Alex85 » 14 set 2005, 20:27

come si dimostra che non esiste una funzione da f:R->R che sia continua sui razionali e discontinua sugli irrazionali?
alex

ps: il contrario è popolare http://www.google.it/search?q=continua+ ... +razionali

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 15 set 2005, 19:05

Rilancio: dimostrare che detto $ D $ l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ si ha $ D \in F_\sigma $. $ \mathbb{R} $ lo si intende con la topologia euclidea.

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 19 set 2005, 00:06

Visto che nessuno mi risponde mi rispondo da solo!
Innanzi tutto per chi non lo sapesse un sottoinsieme $ Y $ di uno spazio topologico $ X $ è detto essere un $ F_\sigma $ se e solo se è unione numerabile di chiusi di $ X $. (Analogamente le intersezioni numerabili di aperti si chiamano $ G_\delta $.)
Sia allora $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ una funzione e sia $ D=\{x \in \mathbb{R}\, | \, f $ non è continua in $ x\} $.
Quindi bisogna dimostrare che $ D $ è unione numerabile di chiusi.
Cominciamo col definire $ \displaystyle\omega_f(x,\delta):\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\rightarrow\overline{\mathbb{R}}: (x,\delta) \mapsto \sup_{t\in[x-\delta,x+\delta]}f(t)-\inf_{t\in[x-\delta,x+\delta]}f(t) $.
$ \omega_f(x,\delta) $ è ovviamente crescente rispetto a $ \delta $ e $ \omega_f(x,\delta)\geq0 \; \forall (x,\delta) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^+ $, quindi è ben definita $ \displaystyle\omega_f(x):\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}: x \mapsto \inf_{\delta>0}\omega_f(x,\delta) $, e si ha $ \displaystyle \omega_f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^+}\omega_f(x,\delta) $.
$ \omega_f(x) $ si chiama oscillazione di $ f $.
Segue immediatamente dalla definizione che $ x \notin D \iff \omega_f(x)=0 $ e quindi $ x \in D \iff \omega_f(x)>0 $.
Poniamo allora $ \displaystyle D_n=\{x \, | \, \omega_f(x)\geq\frac{1}{n}\}=\omega_f^{-1}\left(\left[\frac{1}{n},+\infty\right)\right) $.
Quindi abbiamo che $ \displaystyle D=\bigcup_{n=1}^{+\infty}D_n $. Resta da dimostrare che i $ D_n $ sono tutti chiusi. Per mostrare ciò dimostreremo che $ \omega_f(x) $ è superiormente semicontinua, la tesi segue allora da una nota proprietà delle funzioni superiormente semicontinue (cioé appunto che, se $ g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ è una funzione superiormente semicontinua allora $ g^{-1}\left(\left[\alpha,+\infty\right)\right) $ è un chiuso per ogni $ \alpha \in \mathbb{R} $. Se qualcuno desidera la dimostrazione non ha che da chiedere.)
Ricordo che per definizione una funzione $ g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ si dice superiormente semicontinua se per ogni $ x \in \mathbb{R} $ si ha $ \displaystyle \limsup_{n \rightarrow +\infty}g(x_n)\leq g(x) $ per ogni successione $ x_n $ che tende a $ x $. Dimostriamo allora che $ \omega_f(x) $ è superiormente semicontinua! Se per assurdo non lo fosse esisterebbe un $ x $ e una successione $ x_n\rightarrow x $ per cui si avrebbe $ \displaystyle \limsup_{n \rightarrow +\infty}\omega_f(x_n)> \omega_f(x) $. Quindi esisterebbe anche una successione $ x_n \rightarrow x $ (uso lo stesso nome per semplicità), per cui si avrebbe $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\omega_f(x_n)> \omega_f(x) $, ma poiché $ x_n $ sta definitivamente in ogni intorno di $ x $ questo è assurdo (tralascio i dettagli, ma se avete capito davvero le definizioni non dovreste avere difficoltà a sistemare bene le cose, basta davvero poco di analisi, comunque se avete dubbi chiedete pure).
Quindi $ \omega_f(x) $ è superiormente semicontinua, e quindi $ D $ è un $ F_\sigma $ e poiché è noto (al solito se volete la dimostrazione non avete che da chiedere) che $ \mathbb{Q} $ non è un $ G_\delta $ si ha ovviamente che $ \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} $ non è un $ F_\sigma $, e quindi non può esistere la funzione di cui parla Alex.

Corretto qualche refuso. MindFlyer
Ultima modifica di publiosulpicio il 19 ott 2005, 11:04, modificato 1 volta in totale.

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 05 ott 2005, 20:42

Vedo che l'argomento non interessa a molti, cmq...
Vale il viceversa della precedente affermazione? Cioè dato un generico $ D\subset\mathbb{R} $ che sia un $ F_\sigma $ esiste $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ che abbia esattamente $ D $ come insieme dei punti di discontinuità?

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