Corretto, però io sapevo che se una serie entro il raggio di convergenza ha per somma un funzione f(x), allora se dimostriamo che in x=R o in x=-R la somma converge e in quei punti la funzione f(x) è definita e continua allora necessariamente la somma vale f(R) o f(-R) rispettivamente. Giusto?ma_go ha scritto: ehm.. a dir la verità non è così immediato...
c'è di mezzo un teorema (di abel) che garantisce che se una serie $ \displaystyle\sum_n a_n x^n $ di potenze, con raggio di convergenza $ 1 $, tale che la serie $ \displaystyle\sum_n a_n $ esista, allora $ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-} \sum_n a_n x^n = \sum_n a_n $...
e la dimostrazione non è così banale
Esempio nel nostro caso $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} $ è convergente per il criterio di Leibniz. La serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} $ ha somma $ f(x)=\ln{1+x} $ che è definita e continua in x=1, dunque la serie data converge a $ \ln{2} $.