Triangolo sferico

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MASSO
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Triangolo sferico

Messaggio da MASSO » 25 mag 2005, 12:09

Sto leggendo un libro che ad un certo punto dice: "è noto che l'area di un triangolo aventi angoli interni a,b,c, disegnato sulla superfice di una sfera di raggio r, equivale a: (a+b+c-pi)*r^2 " Qualcuno può fornirmi una dimostrazione di questo enunciato senza sfruttare eccessivamente il calcolo differenziale?

PS:il libro è "storia del pensiero matematico" pag. 1035

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 25 mag 2005, 12:49

Innanzitutto, precisiamo che i lati del triangolo sono archi di cerchio massimo (ovvero geodetiche sulla sfera).
Inoltre, l'angolo in un vertice del triangolo sferico è l'angolo tra i semipiani che tagliano sulla sfera i semicerchi massimi a cui appartengono i lati che concorrono in quel vertice.
Ora, calcoliamo prima l'area racchiusa da una lunula, ovvero, scegliamo un punto sulla sfera e il suo antipodale (insomma, fissiamo il polo nord e il polo sud); consideriamo due semicerchi massimi uscenti da un polo e terminanti nell'altro; consideriamo la parte di superficie sferica minore racchiusa tra i due (quella sottesa dall'angolo diedro minore), essa è data da
$ \frac{\textrm{angolo della lunula}}{2\pi}(4\pi r^2)=2\textrm{(angolo della lunula)}r^2 $
Ora, consideriamo un triangolo sferico ABC e prolunghiamone i lati fino a farli reintersecare in DEF (in D si intersecano AB e AC etc etc).
Ora, i triangoli ABC e BDC uniti formano una lunula sottesa dall'angolo in A,
i triangoli ABC e AEC formano una lunula sottesa dall'angolo in B
i triangoli ABC e ABF formano una lunula sottesa dall'angolo in C.
Quindi
$ 2A_{ABC} +(A_{ABC}+A_{BDC}+A_{AEC}+A_{ABF})=2(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C})r^2 $
ora, un cerchio massimo divide la sfera in due emisferi equiestesi, quindi possiamo scrivere che
$ A_{ABC}+A_{ACE}+A_{BCD}+A_{CED}=2\pi r^2 $
inoltre, osserviamo che il triangolo CED è l'antipodale di ABF e quindi ha la stessa superficie, quindi
$ A_{ABC}+A_{ACE}+A_{BCD}+A_{ABF}=2\pi r^2 $
e, sostituendo, abbiamo
$ 2A_{ABC} +2\pi r^2=2(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C})r^2 $
da cui
$ A_{ABC} =(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}-\pi)r^2 $.

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MASSO
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Messaggio da MASSO » 25 mag 2005, 17:44

Grazie mille!
Colgo l'occasione per porre un'altro quesito; esiste un metodo veloce e indolore per ricavare il perimetro in funzione degli angoli? (sempre parlando di un triangolo disegnato su una superfice sferica)

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 25 mag 2005, 18:07

Sì! Ma devo rispolverare i miei appunti di GeoSferica... pazienta qualche tempo.
8)
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Ok.

Messaggio da elianto84 » 25 mag 2005, 21:13

Bene, ho ritrovato gli appunti. In fondo non sono così disordinato.
Comincio dalle notazioni (promettendo a me stesso di imparare il TeX, prima o poi)

La sfera ha raggio R=1 e centro O.
I punti sulla sfera che determinano il t.sferico li chiamo A,B,C.

I vettori OA,OB,OC li chiamo x[1], x[2], x[3]
Gli angoli ^AOB,^BOC,^COA li chiamo phi[3],phi[1],phi[2]
Gli angoli del t.sferico li chiamo theta[1],theta[2],theta[2]
(in corrispondenza, rispettivamente, dei vertici A,B,C)

Ora viene il bello. Prendo dei vettori di supporto w[jk].
Per ora fa comodo considerarli come vettori fisici,
cioè muniti di punto di applicazione.

w[jk] giace sul piano determinato da x[j] e x[k]
ha come punto di applicazione (coda) la punta di x[j] ed è perpendicolare a x[j]
inoltre w[jk]=x[k]-cos(phi)*x[j]
dove (i,j,k)=(1,2,3)

per essere più chiaro...
Mi metto nel piano determinato da O,A,B (cioè da x[1] e x[2])
chiamo H il piede dell'altezza di OAB uscente da B
HB (come vettore) è congruente a w[12] (ma ha diverso punto di applicazione).

theta è l'angolo tra w[ij] e w[ik] dunque
(indico con ° il prodotto scalare e con X quello vettoriale)

cos(theta) = ( w[ij]°w[ik] ) / ( |w[ij]|*|w[ik] )

ora, da bravi, svolgiamo i conti, e verifichiamo che

|w[ij]| = |w[ji]| = sin(phi[k])
w[ij]°w[ik] = cos(phi) - cos(phi[k])cos(phi[j])

da cui ricaviamo la prima identità fondamentale

cos(phi) - cos(phi[j])cos(phi[k]) = sin(phi[j])sin(phi[k])cos(theta)

che ci permette di ricavare i THETA conoscendo i PHI.
Se abbiamo la pazienza di invertirla otteniamo la seconda identità fondamentale

cos(theta) + cos(theta[j])cos(theta[k]) = sin(theta[j])sin(theta[k])cos(phi)

che ci permette di ricavare i PHI conoscendo i THETA:
è proprio quello che vogliamo, dato che il perimetro del triangolo sferico è pari a

R(phi[1]+phi[2]+phi[3])

Un'altra relazione importante è la seguente

sin(theta)=|(x X x[j]) X (x[i] X x[k])| / ( |(x[i] X x[j])| * |(x[i] X x[k])| )

che laboriosamente si trasforma in

sin(theta[i]) = 6 Volume(OABC) / (sin(phi[k])*sin(phi[j]))

chiaramente

6 Volume(OABC) = 2R Area(ABC) = 2R^3 (theta[1]+theta[2]+theta[3]-pi)

per quanto dimostrato da EvaristeG, ma soprattutto

posto mu[i] = sin(theta[i])/sin(phi[i])

dalla precedente relazione spunta fuori che

mu[1] = mu[2] = mu[3] = mu =
= 2R^3 (theta[1]+theta[2]+theta[3]-pi) / (sin(phi[1])sin(phi[2])sin(phi[3]))

esiste un equivalente perverso del teorema del seno anche per i t.sferici.
Spero di essere stato esaustivo.
Sempre accette richieste di chiarimenti.

Hasta luego!

-Nota dell'ultim'ora-
Se applichiamo le identità fondamentali ad un triangolo sferico "rettangolo"
otteniamo una formula di rilievo quasi... "cartografico"

Poniamo che due luoghi distino phi[3] in latitudine e phi[1] in longitudine.
phi[2] sarà l'angolo sotto il quale il centro della Terra (presunta sferica)
vedrà i due luoghi; in particolare si avrà

cos(phi[2])=cos(phi[1])*cos(phi[2])

che da molte parti è chiamato "Teorema di Pitagora per i t.sferici".
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MASSO
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optimo

Messaggio da MASSO » 26 mag 2005, 10:53

Ottimo, è proprio la dimostrazione che cercavo; necessito solamente di un paio di chiarimenti:
elianto84 ha scritto: cos(theta) = ( w[ij]°w[ik] ) / ( |w[ij]|*|w[ik] )

ora, da bravi, svolgiamo i conti, e verifichiamo che

|w[ij]| = |w[ji]| = sin(phi[k])
w[ij]°w[ik] = cos(phi) - cos(phi[k])cos(phi[j])

......

che ci permette di ricavare i THETA conoscendo i PHI.
Se abbiamo la pazienza di invertirla otteniamo la seconda identità fondamentale



Quando dici "svolgiamo i conti" cosa usi? cioè, come fai a ricavare sin(phi[k])? E un altra cosa, quando dici di invertire la formula, lo fai con una montagna di calcolacci o c'è qualche accorgimento che ti risparmia tutta la fatica?

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elianto84
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Re: optimo

Messaggio da elianto84 » 26 mag 2005, 13:21

MASSO ha scritto: Quando dici "svolgiamo i conti" cosa usi? cioè, come fai a ricavare sin(phi[k])? E un altra cosa, quando dici di invertire la formula, lo fai con una montagna di calcolacci o c'è qualche accorgimento che ti risparmia tutta la fatica?
Per l'inversione bastano pochi conti, non è eccessivamente faticoso.
Per il calcolo vettoriale si fa ricorso alla definizione

w[jk]=x[j]-cos(phi)*x

(x[1] x[2] e x[3] sono i vettori fondamentali che determinano il t.sferico)

da cui, per esempio,

w[jk] ° x[k] = x[j]°x[k] - cos(phi)*x°x[k]

che si affronta ricorrendo alla proprietà fondamentale del prodotto scalare

x ° x[j] = |x|*|x[j]|*cos(phi[k])

Altra cosa che torna utile nei conti è la seguente relazione
(che poi sarebbe il teorema di Carnot in forma vettoriale)

|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cos(alphacompreso)
|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a°b)

Torna tutto?

Hasta luego!
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