Ho un problema di geometria analitica da risolvere e discutere graficamente e non mi riesce un punto. Fa parte della maturità scientifica del 1936 (io sono in terza liceo Scientifico). Qualcuno mi può aiutare?
Ecco il testo:
In un sistema di coordinate cartesiane ortogonali di origine O sia data
l'equazione della parabola: y=x^2-6x+8.
a) disegnare la curva dopo aver trovato i punti A e B (Xa<Xb) di
intersezione con l'asse x, il punto di intersezione C con l'asse y, il
vertice V della parabola, la tangente nel punto A e il punto T di
intersezione di essa con l'asse y, facendo osservare che la tangente è
parallela alla retta BC;
E questo mi è riuscito (o almeno penso vada bene....):
Punti di intersezione della parabola con l'asse delle x:
A(2,0) ; B(4,0)
C(0,8)
Vertice della parabola: V(3,-1)
Punto T (0,4)
Ecco quello che non mi riesce:
b) Determinare un punto P dell'arco AC della curva in modo che sia k l'area
del quadrangolo convesso che ha per vertici P, il punto medio M di OA,
l'origine O e il punto medio R di OT.
Ho pensato intanto di scomporre il quadrangolo in due triangoli e fare la
somma delle due aree. Uno è un triangolo rettangolo e non ci sono problemi.
Ma l'altro?. Oppure c'è qualche altra soluzione?
:oops: :oops:
Simona
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Problema di geometria analitica
Due idee.
Prima idea (facile).
Definisci il punto Q cone l'interesezione della retta verticale passante per M e la retta PR (che esiste sempre tranne in un caso che tratti a parte).
A quel punto il tuo quadrilatero è ORM + QRM +/- PQM, che sono triangoli con la base parallela agli assi e di cui dovresti saper calcolare l'area. [quando vale il +? quando il -?]
Seconda idea (un po' più avanzata).
Se conosci il determinante di una metrice 3 x 3, esiste una formula per calcolare l'area di un triangolo generico, date le coordinate dei punti.
Per esser precisi, l'area del triangolo con vertici $ \left( x_1, y_1 \right), \left( x_2, y_2 \right), \left( x_3, y_3 \right) $ è data da
$ $ \frac 1 2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array}\right| $
EDIT: dimenticato il diviso due....
Questa la puoi sfruttare per calcolare direttamente l'area di PRM (occhio ai segni: intendo dire il valore assoluto del determinante di quella matrice...).
Va meglio?
Ciao. M.
Prima idea (facile).
Definisci il punto Q cone l'interesezione della retta verticale passante per M e la retta PR (che esiste sempre tranne in un caso che tratti a parte).
A quel punto il tuo quadrilatero è ORM + QRM +/- PQM, che sono triangoli con la base parallela agli assi e di cui dovresti saper calcolare l'area. [quando vale il +? quando il -?]
Seconda idea (un po' più avanzata).
Se conosci il determinante di una metrice 3 x 3, esiste una formula per calcolare l'area di un triangolo generico, date le coordinate dei punti.
Per esser precisi, l'area del triangolo con vertici $ \left( x_1, y_1 \right), \left( x_2, y_2 \right), \left( x_3, y_3 \right) $ è data da
$ $ \frac 1 2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array}\right| $
EDIT: dimenticato il diviso due....
Questa la puoi sfruttare per calcolare direttamente l'area di PRM (occhio ai segni: intendo dire il valore assoluto del determinante di quella matrice...).
Va meglio?
Ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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