integrale del seno

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
rargh
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Messaggio da rargh » 18 mag 2005, 12:11

Carro bestiame, sei studente del liceo?
Anche se HiTLeuLeR spesso tira fuori strumenti matematici piuttosto complessi, stavolta ha usato in modo semplice concetti di Analisi 1.
Il metodo per serie è il metodo più "ovvio": approssimi la funzione sin(x)/x con una serie di potenze.
Intuitivamente, se una funzione f(x) che approssima sin(x)/x convergerà a sin(x)/x stessa, anche l'area sottesa da f(x) convergerà all'area sottesa da sin(x)/x, tranne in alcuni casi inconsueti, ragione per cui era necessario studiare l'uniforme convergenza della serie di potenze.
Semplicemente, dato lo sviluppo in serie di sin(x)/x, lo integri, e ottieni un'altra serie di potenze, et voilà, hai un modo semplice per calcolare questo integrale.
Sostituisci x nello sviluppo e ti calcoli fino a un certo decimale la somma della serie.

Credo che sia necessario usare serie infinite per esprimere questa funzione, perché altrimenti avresti come primitiva una funzione elementare.

Anche se ho studiato poco analisi, sono sicuro che esistono altri modi per calcolare questo integrale, che però temo siano più complessi di quello appena mostrato da HiTLeuLeR.

L'integrale da -infinito a +infinito si può calcolare con le trasformate di fourier.

carro bestiame
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Messaggio da carro bestiame » 18 mag 2005, 12:25

non conosco il metodo di integrazione per serie, ne conoscevo solo il nome... per cui di quello che ha scritto hitleuler non ci ho capito una cippa.

p.s. si liceo
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psion_metacreativo
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Messaggio da psion_metacreativo » 18 mag 2005, 12:28

carro bestiame ha scritto: p.s. si liceo
AHHH :shock: :shock: :shock: un minorenne nella sezione più erotica del sito... secondo me i mods dovrebbero mettere qualche strumento di salvaguardia per gli occhi dei più piccini.... :lol: :lol: :lol:


P.S. é bello fare nonnismo su qualcuno, non te la prendere carro bestiame io sono l'ultima ruota del carro qui dentro quindi sono abbastanza stupido...

carro bestiame
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Messaggio da carro bestiame » 18 mag 2005, 12:32

beh non credo che questa parte della matematica sia molto piu' difficile della matematica elementare
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rargh
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Messaggio da rargh » 18 mag 2005, 14:52

Studiati lo sviluppo in serie, la formula di Taylor. E' abbastanza facile da capire. Poi il resto viene da se.

Magari un po' più problematico è lo studio della convergenza della serie. Infatti ci sono punti e casi in cui la funzione non è sviluppabile in serie di Taylor, ma non è il caso di sin(x)/x in 0.

Ti do' una traccia di dimostrazione. Prendiamo per semplicità lo sviluppo in 0:
f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+....

a0=f(0)
a1=lim (x->0) di (f(x)-a0)/x=f'(0)
a2=lim (x->0) di (f(x)-a0-a1*x)/(x^2)= (applichi de l'Hopital)
=lim (x->0) di (f'(x)-a1)/2x= (ancora de l'Hopital) = lim (x->0) di f''(x)/2, quindi
a2=f''(x)/2

In generale, applicando n volte de l'Hopital per il termine an, puoi dimostrare che an = derivata n-esima di f(x) / n!

Un modo intuitivo di vederlo è questo. Stai cercando di approssimare f(x) in 0 con un polinomio p(x), e per fare assomigliare p(x) sempre di più a f(x), fai in modo che abbia più derivate possibili comuni con f(x) in x=0.
p(x)=sum (ai*x^i)
Puoi vedere facilmente che la derivata n-esima di un polinomio in x=0 è n!*an.
Quindi eguagli questa derivata a quella n-esima di f(x).

Via via che aggiungi termini (e quindi derivate in comune) la funzione p(x) assomiglierà sempre di più a f(x) perché?
Be', per esempio, uno sviluppo al primo ordine significa approssimare f(x) con la retta tangente, e per intervalli piccoli si assomigliano. Il problema è che a differenza della retta la derivata di f(x) cambia. Allora aggiungiamo anche la derivata seconda in comune, così nell'intorno di 0 p'(x) varierà quasi allo stesso modo di f'(x). Il problema è quando f''(x) non è costante. Allora aggiungiamo la derivata terza....e così via.

Per HiTLeuLeR: lo so, è molto rozza come spiegazione, ma secondo me come visione intuitiva non è sbagliata.

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Messaggio da HiTLeuLeR » 18 mag 2005, 15:16

rargh ha scritto:Per HiTLeuLeR: lo so, è molto rozza come spiegazione, ma secondo me come visione intuitiva non è sbagliata.
Mon Dieu, ti sei forse 'mbriacato, per caso?!? Non dovresti tenere troppo in conto il mio parere. E poi ricorda il saggio: excusatio non petita... 8)

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Messaggio da elianto84 » 23 mag 2005, 14:17

carro bestiame ha scritto:in ogni caso non c'è un procedimento meno teorico per il calcolo di quell'integrale?
Mi pare che hai trovato una formula per ricorrenza...
In effetti...
Trovare una serie che converga RAPIDAMENTE a SinIntegral[t]
potrebbe essere un problema interessante... ci cimentiamo?
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dolcetto o scherzetto? :DDD

Messaggio da HiTLeuLeR » 24 mag 2005, 19:41

elianto84 ha scritto:Trovare una serie che converga RAPIDAMENTE a SinIntegral[t] potrebbe essere un problema interessante... ci cimentiamo?
E cimentiamoci... Per ogni $ x\in\mathbb{R} $: $ \displaystyle\mbox{Si}(x) = x\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{2^{2n}(2n+1) n! \cdot (3/2)_n} $, ove $ (3/2)_n $ è un simbolo di Pochhammer.

P.S.: au propose, seppure ti lascerà indifferente, sappi questo: che sono proprio contento tu sia infine ritornato. :roll:

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Messaggio da elianto84 » 25 mag 2005, 18:11

Grazie Euler, sono felice che tu sia felice.
Forniresti un breve excursus che ci conduca alla formula
da appena pubblicata? La ottieni tramite riarrangiamenti ingegnosi
o spunta fuori affrontando il problema con qualche cambiamento
di variabile? (presumo la seconda)

Modifica dell'ultim'ora.
Anzi no. Visto che sin(x)/x è olomorfa su tutto C e priva di poli,
il formulone potrebbe derivare da un'opportuna integrazione curvilinea
nel piano complesso. Confermi? Smentisci?
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Messaggio da HiTLeuLeR » 25 mag 2005, 22:34

elianto84 ha scritto:Forniresti un breve excursus che ci conduca alla formula da te appena pubblicata? La ottieni tramite riarrangiamenti ingegnosi o spunta fuori affrontando il problema con qualche cambiamento di variabile? (presumo la seconda)
Ghghgh... Presumi male, anzi... malissimo!!! Ghghgh... :wink:
elianto84 ha scritto:[...] Visto che sin(x)/x è olomorfa su tutto C e priva di poli, il formulone potrebbe derivare da un'opportuna integrazione curvilinea nel piano complesso. [...]
Macchééé... Davvero t'è sfuggito che si tratta di una pura e semplice riscrittura del termine generale dello sviluppo di cui si è già discusso nella prima pagina di questo stesso thread?!? :mrgreen:

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Messaggio da HiTLeuLeR » 25 mag 2005, 22:39

elianto84 ha scritto:Grazie Euler, sono felice che tu sia felice.
[OT]Ehmmm... Vogliamo forse discutere della leggera differenza ch'esiste fra l'essere felice e l'essere contento, uh?!? :roll: [/OT]

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