Dimostrare che un'applicazione f: I-->R è continua se e solo se il suo grafico è compatto.
Ciao
topologia
Ci provo 
(scusate se non so usare il LaTeX, ma cmq la dimostrazione è abbastanza discorsiva)
Dunque, secondo me l'asserzione è vera solo se I è compatto, anzi mi sembra di poter dare la seguente generalizzazione:
se X è spazio metrico compatto, Y spazio metrico, allora f: X --> Y è continua se e solo se il grafico G è compatto come sottospazio di X x Y
Per la prima implicazione, basta mostrare che G è chiuso; questo perché f(X) è compatto (immagine continua di un compatto), X x f(X) anche (prodotto di compatti), G è incluso in X x f(X), e i sottospazi chiusi di un compatto sono compatti a loro volta.
Effettivamente G è chiuso: sia P=(a,b) non appartenente a G; mostriamo che esiste un aperto di X x Y disgiunto da G e contenente P. Infatti siano Vb, Vf(a) due aperti disgiunti di Y, contenenti rispettivamente b ed f(a). Per la continuità di f esiste un aperto Ua in X contenente a, tale che f(Ua) è contenuto in Vb. Bene, allora Ua x Vb è aperto di X x Y contenente P e disgiunto da G, come si voleva.
Per la seconda implicazione, supponiamo per assurdo che esista un punto di discontinuità p appartenente ad X. Allora esiste in X una successione (An) tendente a p, tale che la successione di Y (f(An)) non tende a f(p). Quindi (f(An)) ammette una sottosuccessione, chiamiamola (f(A z(n))) tale che nessuna delle sue sottosuccessioni converge ad f(p). Prendiamo ora in G la successione (Gn) definita da Gn=(A z(n), f(A z(n))). Gn ammette una sottosuccessione (G w(n)) convergente (infatti G è spazio metrico compatto, il che equivale ad essere sequenzialmente compatto). (G w(n)) non può che convergere a C=(p, t) dove t deve essere sicuramente diverso da f(p). Ma allora C sta nella chiusura di G, ma non in G. E pertanto G non è chiuso. Ma in uno spazio di Hausdorff, quale è X x Y, i sottospazi compatti sono chiusi, e dunque G non è compatto, assurdo.
Spero di essere stato abbastanza chiaro, correggetemi se ho toppato qualcosa... in verità mi è dispiaciuto un po' dover usare la metrizzabilità nella seconda implicazione, altrimenti si sarebbe potuto generalizzare a X , Y generici spazi di Hausdorff...
Ciao
(scusate se non so usare il LaTeX, ma cmq la dimostrazione è abbastanza discorsiva)Dunque, secondo me l'asserzione è vera solo se I è compatto, anzi mi sembra di poter dare la seguente generalizzazione:
se X è spazio metrico compatto, Y spazio metrico, allora f: X --> Y è continua se e solo se il grafico G è compatto come sottospazio di X x Y
Per la prima implicazione, basta mostrare che G è chiuso; questo perché f(X) è compatto (immagine continua di un compatto), X x f(X) anche (prodotto di compatti), G è incluso in X x f(X), e i sottospazi chiusi di un compatto sono compatti a loro volta.
Effettivamente G è chiuso: sia P=(a,b) non appartenente a G; mostriamo che esiste un aperto di X x Y disgiunto da G e contenente P. Infatti siano Vb, Vf(a) due aperti disgiunti di Y, contenenti rispettivamente b ed f(a). Per la continuità di f esiste un aperto Ua in X contenente a, tale che f(Ua) è contenuto in Vb. Bene, allora Ua x Vb è aperto di X x Y contenente P e disgiunto da G, come si voleva.
Per la seconda implicazione, supponiamo per assurdo che esista un punto di discontinuità p appartenente ad X. Allora esiste in X una successione (An) tendente a p, tale che la successione di Y (f(An)) non tende a f(p). Quindi (f(An)) ammette una sottosuccessione, chiamiamola (f(A z(n))) tale che nessuna delle sue sottosuccessioni converge ad f(p). Prendiamo ora in G la successione (Gn) definita da Gn=(A z(n), f(A z(n))). Gn ammette una sottosuccessione (G w(n)) convergente (infatti G è spazio metrico compatto, il che equivale ad essere sequenzialmente compatto). (G w(n)) non può che convergere a C=(p, t) dove t deve essere sicuramente diverso da f(p). Ma allora C sta nella chiusura di G, ma non in G. E pertanto G non è chiuso. Ma in uno spazio di Hausdorff, quale è X x Y, i sottospazi compatti sono chiusi, e dunque G non è compatto, assurdo.
Spero di essere stato abbastanza chiaro, correggetemi se ho toppato qualcosa... in verità mi è dispiaciuto un po' dover usare la metrizzabilità nella seconda implicazione, altrimenti si sarebbe potuto generalizzare a X , Y generici spazi di Hausdorff...
Ciao