Convergenza di serie

[Franchifis]

Dimostrare che per ogni serie di reali limitata, esiste una sottoserie (e' cosi' che si dice?) convergente.

[Marco]

Attento ai termini!

In generale, solitamente non si dice che "una serie è limitata", ma si dice che una successione è limitata. Forse intendi dire che "la successione delle somme parziali" (=la somma del primo termine, dei primi due, dei primi tre, ecc...) è limitata.

Una "sottoserie" non è una cosa ben definita: potrebbe essere
- una sottosuccessione di serie parziali?
- la serie di una sottosuccessione?

Nel primo caso, direi che l'enunciato è vero. Nel secondo è falso (chi trova un controesempio?).

L'enunciato "giusto" ripulito (la cui dimos si trova su tutti i libri di Analisi I) è:

Da una successione reale limitata è sempre possibile estrarre una sottosuccessione che converge.

[Franchifis]

Ehm, si' in effetti e' proprio quello che intendevo. Il mio libro purtroppo e' in inglese e non sono mai sicuro di come si traduca. Comunque non pensavo che fosse un risultato cosi' importante da essere riportato in tutti i libri di testo...

[Catraga]

Se mai studierai topologia questo risultato ti verra' propinato in tutte le salse.

[EvaristeG]

Basta fare un po' di analisi...

[MindFlyer]

Ma facendo solo un po' di analisi non lo vedi in tutte le salse!
Lo chiami teorema di Bolzano-Weierstrass e basta.

In topologia invece lo usi in correlazione con la compattezza, e fai vedere che è equivalente ad un po' di altre cose...