sull'esponenziazione di gruppi finiti

[pazqo]

Posto qua perché è un problema abbastanza semplice ma non banale. Magari qualcuno di voi conosce risultati noti a riguardo...

Sia p un numero primo dispari
Prendiamo l'omomorfismo $ 2^\cdot:\mathbb{Z}_p\to\mathbb{Z}_{p}^{\star} $, che agisce nel seguente modo: $ a \mapsto 2^a \mod p $.

Ovviamente questo omomorfismo va in $ \mathbb{Z}_p^\star $, visto che il gruppo che otteniamo è un gruppo moltiplicativo e $ kp \neq 2^m \quad \forall k,m \in \mathbb{Z} $. Inoltre il gruppo che otteniamo è abeliano.

La mia domanda è: cosa si sa sulla dimensione dell'immagine?

Per calcolare la dimensione dovrebbe essere utile il 1° teorema di omomorfismo. Il problema diofanteo è proprio calcolare il nucleo dell'omomorfismo... Quindi:

PROBLEMA
Quante soluzioni ha l'equazione diofantea $ 2^n \equiv_p 1 $?

Una soluzione è banale $ n = p-1 $. Inoltre, ogni altra soluzione divide $ p-1 $, per il teorema di Lagrange.

Altro parziale risultato: per i numeri primi di Mersenne della forma $ 2^m - 1 $, la dimensione dell'immagine è esattamente m poiché $ 2^m \equiv_{2^m -1} 1 $ e per ogni $ n < m $, $ 2^n < 2^m -1 $.

Ma allora avremo anche che $ m | 2^m - 2 $ e in particolare si verifica una delle seguenti:

m è primo e $ 2^m - 2 = 2m $ (come ne caso in cui m = 3, non so se ce ne sono altri...).
Altrimenti $ 2^{m-1} - 1 $ non è primo se $ 2^m-1 $ è primo

A prescindere dalla domanda, mi pare già interessante questo risultato.
Sapete qualcosa di più?

[HiTLeuLeR]

Clicca qui, pazqo. In generale, se $ p\in\mathfrak{P} $, $ a\in\mathbb{Z} $ e $ \gcd(a,p) = 1 $, l'omomorfismo $ \psi_a(\cdot): \mathbb{Z}_p \mapsto \mathbb{Z}_p: n \mapsto a^n \bmod\;\! p $ è tale che: $ |\psi_a(\mathbb{Z}_p)| = \mbox{ord}_p(a) $. Sull'ordine moltiplicativo di un primo a una data base si potrebbe senza dubbio tenere un intero corso universitario annuale, senza comunque giungere ad esaurire gli argomenti... Pertanto, se hai un problema specifico da proporre, bene!!! Altrimenti pigliati un buon libro e studia: certe questioni attengono alle conoscenze minime sindacali che ogni appassionato/studioso di Teoria dei Numeri dovrebbe possedere. Baaah, voi matematici...

[HiTLeuLeR]

Altro parziale risultato: per i numeri primi di Mersenne della forma $ 2^m - 1 $, la dimensione dell'immagine è esattamente m poiché $ 2^m \equiv_{2^m -1} 1 $ e per ogni $ n < m $, $ 2^n < 2^m -1 $. Ma allora avremo anche che $ m | 2^m - 2 $ e in particolare si verifica una delle seguenti: m è primo e $ 2^m - 2 = 2m $ (come ne caso in cui m = 3, non so se ce ne sono altri...). Altrimenti $ 2^{m-1} - 1 $ non è primo se $ 2^m-1 $ è primo.

Alt!!! Le tue ipotesi dicono chiaramente che $ 2^m - 1 $ è un numero primo (btw, un primo di Mersenne). E allora è banale dimostrare che, necessariamente, $ m $ è esso stesso primo in $ \mathbb{N} $, ché altrimenti, posto $ m = ab $, essendo $ a, b\in\mathbb{N} $, con $ 1 < a \leq b $: $ (2^a - 1)\mid (2^m - 1) $. Tanto è sufficiente per dedurre, senza alcuno sforzo, che $ m $ divide incondizionatamente $ 2^{m-1} - 1 $, là dove sia $ m > 2 $. Se questi ti paiono risultati interessanti, beh... dovresti un po' vedere tutto il resto: c'è davvero di che rimanere basiti per intere settimane!!!

[Marco]

Prendiamo l'omomorfismo $ 2^\cdot:\mathbb{Z}_p\to\mathbb{Z}_{p}^{\star} $, che agisce nel seguente modo: $ a \mapsto 2^a \mod p $.

Just for pignolery's sake...

Se lo scrivi così, non è un omomorfismo. Quanto meno devi partire da $ \mathbb Z/(p-1)\mathbb Z $

[pazqo]

rispondo a entrambi:

Marco: cosa? dov'è che dovrei cambiare? mi pare che quell'omomorfismo prenda in entrata tutti i valori di $ \mathbb{Z}_p $, e restituisca valori in $ \mathbb{Z}_p $. Ci ho messo lo \star perché sicuramente lo 0 non ci sta... non capisco dov'è il problema... al massimo diciamo che $ 2^\cdot \colon x \mapsto 2^x \mod p $

Salvo: Lo sappiamo benissimo che tu sei il dio della teoria dei numeri, che ti sei letto l'Hardy-Wright, che sai benissimo tutti questi risultati che un povero idiota come me non conosce. Detto questo, volevo solo sapere se qualcuno ha delle referenze a riguardo. Ma a quanto pare, qua si trova solo gente che vuol mettere in mostra le proprie conoscenze... mi rivolgerò altrove, per le richieste bibliografiche...
E comunque, come ti ho già spiegato, quella affermazione che faccio riguardo alla primalità/non primalità dei Mersenne non voleva essere una grande novità. Voleva solo essere un esempio di applicazione di questo tipo di studi, tanto per dire che non sono conti campati in aria... Il fatto che ci siano altre dimostrazioni non ti autorizza a fare certe affermazioni...

A presto

[Marco]

mi pare che quell'omomorfismo prenda in entrata tutti i valori di $ \mathbb{Z}_p $

Falso. Prende valori modulo $ p-1 $ e non $ p $.

Infatti $ 2^p \equiv 2 \not \equiv 1 \pmod p $. Così è più chiaro?

Ciao. M.

[pazqo]

ah, sì, che scemo. avevo sbagliato un conto...

ok, altro che modo pignolo.. quello che ho definito io non sarebbe un omomorfismo...

pazqo

[Marco]

quello che ho definito io non sarebbe un omomorfismo...

E infatti:...

Se lo scrivi così, non è un omomorfismo.

[HiTLeuLeR]

Scusatemi l'assenza dalla scena, gh... A quanto pare, nonostante la lontananza, qualcuno non ha proprio potuto fare a meno di pensarmi: che caaaro!!!

Salvo: Lo sappiamo benissimo che tu sei il dio della teoria dei numeri, che ti sei letto l'Hardy-Wright, che sai benissimo tutti questi risultati che un povero idiota come me non conosce. Detto questo, volevo solo sapere se qualcuno ha delle referenze a riguardo. Ma a quanto pare, qua si trova solo gente che vuol mettere in mostra le proprie conoscenze...

Ottimo!!! Vorrà dire che al più presto, per provarmi l'autenticità della tua fede, maestoso e imponente erigerai per me, sulla spianata delle moschee di Gerusalemme, un tempio maravijoooso (pronuncia nasale) in stile greco-ellenico-alessandrino, coi capitelli corinzi, i pavimenti d'alabastro, le colonne rastremate dall'alto in basso, tre navate, il portone principale in adamantio e crisoelefantina, le uscite d'emergenza in bronzo lavorato a balze, il tetto a capriate in cedri del Libano, affreschi in ogni dove e un paio di cariatidi seminude a introdurre alla statua del mio nume (naturalmente, in marmo di Carrara). Gradirei che affidassi il progetto e la messa in opera a Michalangelo, Canova e Bernini: trova tu il modo di convincerli per tornare 'ndietro dal regno delle ombre, confido nella tua dialettica e nelle tue capacità di persuasione... Ah, prima che me ne dimentichi: vedi pure di prevedere dello spazio sufficiente per un bell'internet-point!!! E infine un consiglio, se me lo concedi: sforzati di lavorare un po' sulla tua autostima, stefano! A tratti mi sembra davvero esagerata, la tua reazione ne è la prova... Prima di tentare vanamente di smentirmi, almeno promettimi che ci penserai un po' su!!! Ok?!?

In quanto al discorso sugli omomorfismi, non mi pare sia il caso di mostrasi così categorici... Certo, comunemente per omomorfismo s'intende un'applicazione fra due insiemi strutturati (due gruppi, due anelli, due campi) che (mi sia permesso il chiacchiericcio) preserva in qualche modo la struttura. Ma salendo un po' di livello, questo non è più strettamente necessario! Su, un bel click sul testo in azzurrino... E pensare che ne avevamo discusso insieme, pazqo, qualche tempo fa in chat.

P.S.: qualora fosse necessario, un altro piccolo click su questo link!