Sugli ordinali

[zak]

Ora voglio sapere xkè Omega + 2 è diverso da 2 + omega!!!!! sono giorni che mi scervello... Vi prego ditemeloooo

[pazqo]

$ \omega $ è un ordinale limite, il primo ordinale limite.
la somma ordinale è definita a destra nel modo seguente:
$ a + S(B) = S(a+b) $, dove S è la funzione successore e a e b sono una "generalizzazione" dei numeri naturali (in realtà sono insiemi con determinate proprietà, ma per ora prendili in questo modo) e si chiamano ordinali.
Ad esempio: 5+3 = 5 + S(2) = S(5+2) = S(5+S(1)) = S(S(5+1)) = S(S(5+S(0))) = S(S(S(5+0))) = S(S(S(5))), a cui attibuiamo il simbolo 8.
Per gli assiomi di Zermelo-Fraenkel, esiste un ordinale $ \omega\neq 0 $ tale che non è successore di alcun numero e sia il più piccolo con questa prorietà (la relazione d'ordine è essenzialmente la stessa che c'è sui naturali.
Ora, $ 2+\omega $ e $ \omega +2 $ sono diversi.
Infatti $ \omega + 2 = \omega + S(1) = S(\omega + 1) = S(\omega + S(0)) = S(S(\omega + 0)) $$ =S(S(\omega)) $,
mentre $ 2 + \omega $ non può essere calcolato in quel modo, poiché $ \omega $ non è successore. il calcolo di $ 2 + \omega $ richiede un passaggio al limite che non è banale (devi prendere l'unione dei $ 2+\lambda $, con $ \lambda $ che varia tra gli ordinali più piccoli di $ \omega $).

Tieni conto che questa spiegazione è mooolto semplificata.

si può dimostrare che a+b = b+a se a e b sono naturali (più piccoli si $ \omega $, ma la commutatività non vale in generale (come nel caso preso in considerazione)

ps: tanto per dire come sono fatti i naturali visti come ordinali:
$ 0 = \emptyset $
$ 1 = \{0\} = \{\emptyset\} $
$ 2 = \{0,1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\} $
$ 3 = \{0,1,2\} = \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} $
$ n = \{0,1,2,\ldots,n-1\} $
$ \vdots $
$ \omega = \bigcup_n n $

ps per i moderatori:
ho provato a postare questo codice:

Codice: Seleziona tutto

\omega + 2 = \omega + S(1) = S(\omega + 1) = S(\omega + S(0)) = S(S(\omega + 0)) = S(S(\omega ))

, ma sembra essere troppo lungo. ci son le Bad Box anche qua?

[zak]

pazzesco, ma voi che sapete queste cose assurde quanti anni avete? e cosa fate nella vita? mamma mia. Il discorso semplificato l'ho capito appena. Uau. Grazie cmq per la risposta, e per aver usato termini semplici. 'Chè altrimenti non avrei capito niente.

[pazqo]

son cose che ho visto in modo approfondito (e, tanto per dire, quello che ti ho riassunto erano i primi 20 minuti di un corso di 2 mesi) in un corso di Teoria degli insiemi, dopo aver fatto 2 corsi di logica. A voler essere formali non si finisce più e questo non è il tread giusto. non mi stupirei se venisse spostato in matematica non elementrare o in glossario. comunque son cose che, se ti va bene (o male, de gustibus), le vedi al 3°/4° anno di matematica. vederle prima è frustrante e si rischia di fare solo una gran paccottiglia di nozioni parziali e incomplete

pazqo

ps: la matematica non è solo geometria e problem solving. E' giusto anche mostrare simili nozioni, per non creare illusioni negli studenti

[pazqo]

come dice il mio professore di analisi:

Non si possono mangiare solo patatine fritte. a volte bisogna mangiare anche gli spinaci

[zak]

non so quanto ci crederai ma, io sono al 4° anno e queste cose ancora le devo vedere... sto in una classe di 30 persone, e del programma stabilito ogni anno non riusciamo a fare niente. xkè se no andiamo avanti in pochi e lasciamo gli altri a guardarci. che scocciatura. Evviva la Moratti!!!

[pps]

come dice il mio professore di analisi:

Non si possono mangiare solo patatine fritte. a volte bisogna mangiare anche gli spinaci

evidentemente al tuo prof di analisi non piacciono gli spinaci... (scusate il breve OT)

[pazqo]

non so quanto ci crederai ma, io sono al 4° anno e queste cose ancora le devo vedere... sto in una classe di 30 persone, e del programma stabilito ogni anno non riusciamo a fare niente. xkè se no andiamo avanti in pochi e lasciamo gli altri a guardarci. che scocciatura. Evviva la Moratti!!!

nessun disturbo. Qua a Udine abbiamo dei logici matti. il prossimo periodo farò il mio terzo corso di logica, oltre che il 2° di fondamenti della matematica... in più abbiamo geometria assiomatica e teoria degli insiemi... insomma, se qualcuno vuol dedicarsi anima e corpo (non è il mio caso) alla matematica fondazionale, direi che c'è pane per i suoi denti

E' abbastanza normale che queste cose non si vedano in un corso di laurea normale, visto che nella maggior parte delle università non c'è nemmeno un corso di logica e, eventualmente, non è obbligatorio..

pazqo

[Catraga]

Pazqo hai mai letto l'introduzione di Conway alla teoria dei numeri surreali? Penso che ti piacerebbe, se ti piace la logica a livello puro, si intitola "On Numbers and Games". Crollano anni di teoria dei cardinali e degli ordinali... alcune volte raggiunge l'esoterico, devo dire che ho fatto molta fatica a seguirlo: ma ne e' valsa la pena di passare notti insonni, mette sotto una nuova luce tutta la teoria fondazionale dei numeri. Penso che sia un buon completamento ed applicazione a qualsiasi corso universitario di logica.

[pazqo]

ONAG? Grandioso! A dire il vero i numeri surreali ({a,b,c,...|d,e,f,... }) sono una invenzione di Knuth (sì, lo stesso del $ \TeX $) (Surreal Numbers). Ho preso quel libro perché mi sto studiando Winning Ways. In quel libro si fa largo uso di quei numeri. E pertando ho fatto l'acquisto combinato su Amazon. Comuque, una prima introduzione ai numeri surreali la si trova anche ne "Il libro dei Numeri", Conway - Guy, edito da Hoepli. Si trova anche in italia e, a parer mio, dovrebbe stare nelle librerie di ogni matematico interessato alla teoria dei numeri. C'è anche una introduzione agli ordinali.

[Catraga]

Grande! Anch'io ho fatto l'ordine su amazon e sto leggendo Winning ways (non credi che costino un po' troppo? Anche se ne vale veramente la pena...).... ed ho comprato ONAG per lo stesso motivo! Beh, si' hai ragione, il nome surreale e' stato coniato da Knuth.
Non sapevo che Il libro dei numeri fosse edito dalla Hoepli... interessante...
Sono abituato a vedere bistrattate le materie di mio interesse tanto dagli studenti quanto dai professori (Combinatoria algebrica, teoria dei grafi e combinatorial game theory)!
Come mai lo stai leggendo?

[pazqo]

pura libidine. mi diverto a inventare giochi et similia e in quel libro trovo molti spunti. La parte sui giochi Fuzzy è molto interessante, davvero.
Per quanto riguarda i tuoi interessi teorici, direi che è meglio proseguire in privato, visto che stiamo già andando OT...