radici e frazioni continue

[pazqo]

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Dire per quali n la seguente espressione è un numero intero:
$ \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\ldots}}} $

c'è da fare una verifica sulla convergenza di quella espressione. Lascio a voi il compito di dire per quali n va bene. Altrimenti è troppo facile.

Stesso discorso con la seguente:
$ \frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\ldots}}} $.


li avevo postati in matematica avanzata, ma son piuttosto semplici. se volete, di là trovate un esercizio mooolto più difficile.

[Pixel]

Proviamo il primo:

Definita la successione:
$ a_0=\sqrt{n} $
$ a_m=\sqrt{n+a_{m-1}} $

Abbiamo:

LEMMA #1:
La successione definita sopra è limitata superiormente dal valore $ \frac{1+\sqrt{1+4n}}{2} $

Dim:
Procediamo per induzione su m e chiamiamo per comodità $ M=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2} $
Se $ m=0 $ la tesi segue banalmente, supponiamo allora che $ a_{m-1}<M $ e dimostriamo che anche $ a_m<M $.
$ a_m=\sqrt{n+a_{m-1}}<M $ implica $ 4a_{m-1}<4M $ da cui la tesi (se non ho sbagliato i conti)
Ora

LEMMA #2:
La successione è strettamente crescente

Dim: Lasciata per esercizio, ma si tratta solo di risolvere una disequazione che risulta banale per il lemma precedente.

Dunque dal Lemma #1 e #2 abbiamo che il limite della successione esiste finito.
Sia x tale limite abbiamo quindi:
$ x=\sqrt{n+x} $ cioè $ x^2-x-n=0 $ ora x è intero se e solo se
$ 1+4n=(2k+1)^2 $ con k intero positivo, ma allora x è intero se e solo se $ n=k^2+k $ per ogni k intero positivo.

Spero di essere stato chiaro e di non aver fatto castronate
Ciao ciao

[pazqo]

direi che è ok.
Quel lemma 1 penso che si riesca a sostituire con qualcosa di più elegante. tuttavia funziona.
e per l'altro?

[HiTLeuLeR]

Dire per quali n la seguente espressione è un numero intero: $ \frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\ldots}}} $.

C'è da fare una verifica sulla convergenza di quella espressione. Lascio a voi il compito di dire per quali n va bene. Altrimenti è troppo facile.

Siccome la traccia non è che sia poi molto chiara in proposito (e la voce fuori campo aggiunse: "HiT, trattieniti!!!"), beh... assumerò $ n\in\mathbb{N}_0 $. Ciò detto, sia dunque $ \{c_k\}_{k\in\mathbb{N}} $ la successione dei convergenti $ k $-esimi della frazione continua indicata dal problema. E' banale verificare per induzione che, per ogni $ k\in\mathbb{N}_0 $: $ 0 < c_{2k} < c_{2k+2} < ... < c_{2k+1} < c_{2k-1} \leq 1 $, onde dedurne che la frazione continua qui presa in considerazione è incondizionatamente convergente, qualunque sia $ n\in\mathbb{N}_0 $.

Sia perciò $ \displaystyle{\ell := \lim_{k\to \infty} c_k} \geq 0 $. Poiché, per ogni $ k\in\mathbb{N} $: $ c_{k+1} = \dfrac{1}{n+c_k} $, passando al limite ai due membri per $ k\to\infty $, si trova: $ \ell = \dfrac{1}{n+\ell} $, e quindi: $ \ell^2 + n\ell - 1 = 0 $, donde: $ \ell = \dfrac{-n + \sqrt{n^2 + 4}}{2} $. Pertanto, condizione necessaria affinché $ \ell\in\mathbb{N} $ è che $ n^2 + 4 = x^2 $, per qualche $ x\in\mathbb{N} $, but there's nothing to do for that! Basti infatti osservare che l'uguaglianza è impossibile se $ 2 \nmid n $, poiché si avrebbe in tal caso: $ 1 \equiv n^2 + 4 \equiv x^2 \equiv 1 \bmod 8 $, e quindi: $ 4 \equiv 0 \bmod 8 $; verificare che non sussiste per $ n = 2 $ e infine sfruttare il distanziamento crescente dei quadrati. Baaah... Adesso qualcuno mi spiega che senso ha l'altro problema? Mi meraviglio di come Pixel abbia preteso di risolverlo, e del fatto che pazqo gli abbia pure dato la sua benedizione!!!

[pazqo]

nel secondo esercizio, in effetti, per nessun n si ha un valore intero.
sapresti dimostrare, a questo punto, che è un irrazionale quadratico?

pazqo

[HiTLeuLeR]

nel secondo esercizio, in effetti, per nessun n si ha un valore intero. Sapresti dimostrare, a questo punto, che è un irrazionale quadratico?

Ehmmm... Tenti di prendermi in giro o cos'altro, scusa? Che $ \ell $ sia irrazionale, è stato già dimostrato, provando che $ \sqrt{n^2 + 4} $ è appunto tale, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $. Che poi sia quadratico è stato pure verificato, mostrando che $ \ell $ risolve l'equazione a coefficienti interi: $ x^2 + nx - 1 = 0 $, per cuiii... davvero non saprei cosa pensare, pazqo! Posso dirtelo spassionatamente da ingegnere?!? Voi matematici, talora, mi lasciate piuttosto perplesso...

[pazqo]

no, non ho avuto voglia di modificare quella richiesta banale con una più difficile...

[HiTLeuLeR]

E comunque non mi pare la sezione più indicata per parlare di limiti, quantunque anch'io l'abbia fatto! Ma questo soltanto perché il problema lo imponeva, tutto lì...

[Marco]

nel secondo esercizio, in effetti, per nessun n si ha un valore intero.
sapresti dimostrare, a questo punto, che è un irrazionale quadratico?

Beh, siamo in "Mate non Elementare", no? Quindi possiamo anche citare un teoremuzzo classico di TdN: un numero è un irrazionale quadratice sse la sua espressione in frazioni continue è periodica.

Ciao. M.