Quei due numeri saranno uguali???

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Quei due numeri saranno uguali???

Messaggio da Boll » 02 mar 2005, 20:32

Proprio base base che più base non si può, forse dovrei metterlo nel Glossario, nel caso, mi scuso.

Problema:
Senza tirare cannonate (utilizzo di serie o robbe simili), provare che $ 0,\bar{9}=1 $

MindFlyer

Re: Quei due numeri saranno uguali???

Messaggio da MindFlyer » 02 mar 2005, 21:07

Boll ha scritto:Senza tirare cannonate (utilizzo di serie o robbe simili)
Ma $ 0,\bar9 $ non è proprio definito come la serie 0,9+0,09+0,009+... ?

Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Boll » 02 mar 2005, 21:28

Sì, Mind, ma si può fare senza utilizzando "intuitivamente" il concetto di periodo... Matrice, ok, ma come dimostri il tuo algoritmo?

Hammond
Messaggi: 110
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Verona

Messaggio da Hammond » 02 mar 2005, 21:58

Non è tutta farina del mio sacco, nel senso che l'ho "ricostruita" ricordando di aver già visto qualcosa del genere, ma va bè:
pongo $ a=0,\bar9 $
$ 10a=9,\bar9 $
$ 10a-a=9,\bar9-0,\bar9=9 $
abbiamo trovato che $ 9a=9 $, quindi $ a=1 $.
Ciao

Avatar utente
pazqo
Messaggi: 155
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: san giorgio di nogaro
Contatta:

Messaggio da pazqo » 02 mar 2005, 21:58

$ 10\cdot 0,\bar{9} = 9,\bar{9} $
$ 9\cdot 0,\bar{9} = 10\cdot 0,\bar{9} - 0,\bar{9} = 9,\bar{9} - 0,\bar{9} = 9 $

Quindi $ 0,\bar{9} = 1 $
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen of mediocre papers -John Edensor LITTLEWOOD-

Use [tex]\LaTeX[/tex] in your math messages!

www.pazqo.altervista.org

Avatar utente
pazqo
Messaggi: 155
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: san giorgio di nogaro
Contatta:

Messaggio da pazqo » 02 mar 2005, 21:59

ach, fregato sul tempo!
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen of mediocre papers -John Edensor LITTLEWOOD-

Use [tex]\LaTeX[/tex] in your math messages!

www.pazqo.altervista.org

Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Boll » 03 mar 2005, 14:19

Ok, era esattamente la soluzione che avevo in mente :D:D

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 03 mar 2005, 19:27

Scusate se insisto, ma...
voi avete supposto che $ 0,\bar9 $ sia un numero, ovvero che la serie che lo definisce converga. Come fate a dimostrate che una serie converge senza menzionare o senza ragionare sul concetto di serie?

(D'altra parte, vi invito a notare che le dimostrazioni che proponete -nell'ipotesi di convergenza- usano lo stesso metodo dimostrativo della formula generale della somma delle serie geometriche.)

Avatar utente
pazqo
Messaggi: 155
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: san giorgio di nogaro
Contatta:

Messaggio da pazqo » 03 mar 2005, 19:36

pe me, in questo caso, numero significa soltanto sequenza di lunghezza arbitraria ma al più numerabile di cifre decimali. Detto questo, non servono a nulla le serie. Le uniche proprietà necessarie sono:
1) la moltiplicazione per 10 sposta la virgola verso destra di un posto
2) se a e b hanno le stesse cifre decimali, posto per posto, allora a-b è intero.
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen of mediocre papers -John Edensor LITTLEWOOD-

Use [tex]\LaTeX[/tex] in your math messages!

www.pazqo.altervista.org

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 03 mar 2005, 19:47

Mi sto convincendo sempre più a spostare questo thread in Matematica non elementare...

--------------------

pazqo, da un logico questi discorsi non me li aspetto! :wink:
Hai definito il "numero" come sequenza di cifre decimali, e va beh.
Poi hai anche (implicitamente) definito la sottrazione e la moltiplicazione su questi numeri, e va bene perché si possono ricondurre ad operazioni sulle cifre.
Ma poi usi con disinvoltura una proprietà della moltiplicazione tra numeri reali:
$ a\cdot b=a\neq 0\implies b=1 $,
che non hai dimostrato per le operazioni che hai definito! E ti dirò che se tra questi "numeri" appena definiti ce ne fosse qualcuno che, secondo l'interpretazione standard della serie delle cifre, non converge ad un numero reale ma diverge, allora questa proprietà della moltiplicazione non varrebbe!
Perciò, un lemma che devi necessariamente dimostrare è per lo meno che quella proprietà vale per $ a=9 $ e per ogni $ b $.

Avatar utente
pazqo
Messaggi: 155
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: san giorgio di nogaro
Contatta:

Messaggio da pazqo » 03 mar 2005, 20:10

accidenti, è vero.
m'era sfuggito. :-)
ci penso ancora un po'!
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen of mediocre papers -John Edensor LITTLEWOOD-

Use [tex]\LaTeX[/tex] in your math messages!

www.pazqo.altervista.org

Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Boll » 03 mar 2005, 20:34

Sì, hai ragione Mind, mentre scrivevo il topic non mi sono reso conto del fatto che effettivamente non c'era un altro modo di definire quel numero se non le serie...

Avatar utente
Nomen
Messaggi: 68
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da Nomen » 05 mar 2005, 21:45

Tramite la regola della frazione generatrice si ha che 0,9 (con il 9 periodico) è uguale a 9/9 cioè a 1

Avatar utente
aursic
Messaggi: 132
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Udine / Pisa
Contatta:

Messaggio da aursic » 05 mar 2005, 23:23

Credo che per ricavare la frazione generatrice servano le serie.
Ditemi se mi sbaglio
* This message was transmitted on 100% recycled electrons.

AleX_ZeTa
Messaggi: 625
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Milano
Contatta:

Messaggio da AleX_ZeTa » 05 mar 2005, 23:26

vabbe Mind dai... pignolo! :p

passiamo pure dalle serie allora...

$ \displaystyle 0,\overline{9} = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 \over 10 \right)^n \cdot 9 $

che essendo una serie geometrica di ragione < 1 converge.

Non solo... da qui si deduce anche che fa 1:

$ \displaystyle 0,\overline{9} = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 \over 10 \right)^n \cdot 9 = 0.9 \cdot \lim_{n\rightarrow + \infty} {{1 - \left(1 \over 10 \right)^n} \over {1 - {1 \over10}}} = 0.9 \cdot {10 \over 9} = 1 $

contento? :D

Rispondi