Sia $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, $ C^{\infty} $ su tutto $ \mathbb{R} $, tale che $ f(0)=0, f'(0)=0, \hdots, f^{(n)}(0)=0, \hdots $, $ f(x) >0 $ per ogni $ x \neq 0 $.
Mostrare che $ h(x)=\sqrt{f(x)} $ è sicuramente $ C^1 $, e trovare una $ f $ tale che $ h $ non sia $ C^2 $.
Funzioni "brutte"
Ok, ricominciamo da capo!!! Sia $ f(\cdot):\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ una funzione di classe $ C^2(\mathbb{R}) $ tale che: $ f(0) = f'(0) = f''(0) = 0 $, con $ f(x) > 0 $, se $ x \neq 0 $. Posto quindi (com'è lecito) $ h(x) := \sqrt{f(x)} $, $ \forall x \in \mathbb{R} $, si osservi che $ h(\cdot) $ è di classe $ C^2 $ in $ \mathbb{R}\setminus\{0\} $, poiché composizione di funzione della stessa specie. In particolare, per la chain rule, comunque scelto un $ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} $: $ \displaystyle{h'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} = \frac{f'(x)}{2h(x)}} $. Si tratta soltanto di stabilire se $ h(\cdot) $ è derivabile con continuità nel punto $ x_0 := 0 $.
Sviluppando mediante la formula di Taylor (con il resto di Peano) arrestata al secondo ordine di derivazione, si ha che, in un intorno opportunamente piccolo di $ x_0 $: $ f(x) = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = o(x^2) $; e perciò, detto $ R(\cdot) $ il rapporto incrementale di $ h(\cdot) $ relativo allo zero: $ \displaystyle{\lim_{k\to 0} R(k) := \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{f(k)}}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{o(k)}{k} = 0} $.
Sia adesso $ r\in\mathbb{R}^+ $. Intendiamo dimostrare che, assunto allora $ \displaystyle{M_r := \sup_{x\in[-2r,2r]} f''(x)} $, risulta: $ [f'(x)]^2 \leq 2M_r f(x), \forall x \in[-r,r] $. In tal senso, fissato genericamente un punto $ x\in [-r,r] $, osserviamo che, dalla formula di Taylor (con il resto di Lagrange) arrestata al primo ordine di derivazione, comunque scelto un $ k\in\mathbb{R} $: $ f(x+k) = f(x) + f'(x)k + \dfrac{f''(c)}{2}k^2 $, essendo $ c\in\mathbb{R} $ un punto opportuno in $ ]x-|k|,x+|k|[ $.
Del resto, per le ipotesi di segno formulate su $ f(\cdot) $, il primo membro della relazione indicata è non negativo, qual che sia $ k\in\mathbb{R} $, e così pure (di conseguenza) il secondo membro. E allora la disequazione di 2° grado: $ f(x) + f'(x)k + \dfrac{f''(c)}{2}k^2\geq 0 $ è identicamente soddisfatta su $ \mathbb{R} $, perciocché il discriminante dell'equazione associata ha da essere necessariamente $ \leq 0 $, ossia deve valere: $ [f'(x)]^2 - 2f(x)f''(c) \leq 0 $, e quindi: $ [f'(x)]^2 \leq 2f(x)f''(c) \leq 2M_r f(x) $. Dacché questa stessa relazione si ripete per ogni $ x\in [-r,r] $, prontamente ne fa seguito l'asserto.
A questo punto, si osservi che, per aver supposto $ f(\cdot)\in C^2(\mathbb{R}) $: $ \displaystyle{\lim_{x\to 0}} M_r = 0 $, cosicché: $ \displaystyle{0 \leq \lim_{x \to 0} [h'(x)]^2 = \lim_{x \to 0} \dfrac{[f'(x)]^2}{4f(x)} $ $ \leq \lim_{x \to 0} \dfrac{M_r}{2} = 0} $. Di qui, per applicazione dello squeeze principle: $ \displaystyle{\lim_{x \to 0} [h'(x)]^2 = 0} $, e dunque: $ \displaystyle{\lim_{x \to 0} h'(x) = 0} $. Se ne conclude che $ h(\cdot) $ è pure derivabile con continuità nello zero, perciocché $ h\in C^2(\mathbb{R}) $, q.e.d.
NOTA: debbo (e voglio) ringraziare EvaristeG per i suoi essenziali suggerimenti sul problema: è certo che senza il suo aiuto non sarei mai giunto a queste conclusioni! Grazie, Sam.
Sviluppando mediante la formula di Taylor (con il resto di Peano) arrestata al secondo ordine di derivazione, si ha che, in un intorno opportunamente piccolo di $ x_0 $: $ f(x) = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = o(x^2) $; e perciò, detto $ R(\cdot) $ il rapporto incrementale di $ h(\cdot) $ relativo allo zero: $ \displaystyle{\lim_{k\to 0} R(k) := \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{f(k)}}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{o(k)}{k} = 0} $.
Sia adesso $ r\in\mathbb{R}^+ $. Intendiamo dimostrare che, assunto allora $ \displaystyle{M_r := \sup_{x\in[-2r,2r]} f''(x)} $, risulta: $ [f'(x)]^2 \leq 2M_r f(x), \forall x \in[-r,r] $. In tal senso, fissato genericamente un punto $ x\in [-r,r] $, osserviamo che, dalla formula di Taylor (con il resto di Lagrange) arrestata al primo ordine di derivazione, comunque scelto un $ k\in\mathbb{R} $: $ f(x+k) = f(x) + f'(x)k + \dfrac{f''(c)}{2}k^2 $, essendo $ c\in\mathbb{R} $ un punto opportuno in $ ]x-|k|,x+|k|[ $.
Del resto, per le ipotesi di segno formulate su $ f(\cdot) $, il primo membro della relazione indicata è non negativo, qual che sia $ k\in\mathbb{R} $, e così pure (di conseguenza) il secondo membro. E allora la disequazione di 2° grado: $ f(x) + f'(x)k + \dfrac{f''(c)}{2}k^2\geq 0 $ è identicamente soddisfatta su $ \mathbb{R} $, perciocché il discriminante dell'equazione associata ha da essere necessariamente $ \leq 0 $, ossia deve valere: $ [f'(x)]^2 - 2f(x)f''(c) \leq 0 $, e quindi: $ [f'(x)]^2 \leq 2f(x)f''(c) \leq 2M_r f(x) $. Dacché questa stessa relazione si ripete per ogni $ x\in [-r,r] $, prontamente ne fa seguito l'asserto.
A questo punto, si osservi che, per aver supposto $ f(\cdot)\in C^2(\mathbb{R}) $: $ \displaystyle{\lim_{x\to 0}} M_r = 0 $, cosicché: $ \displaystyle{0 \leq \lim_{x \to 0} [h'(x)]^2 = \lim_{x \to 0} \dfrac{[f'(x)]^2}{4f(x)} $ $ \leq \lim_{x \to 0} \dfrac{M_r}{2} = 0} $. Di qui, per applicazione dello squeeze principle: $ \displaystyle{\lim_{x \to 0} [h'(x)]^2 = 0} $, e dunque: $ \displaystyle{\lim_{x \to 0} h'(x) = 0} $. Se ne conclude che $ h(\cdot) $ è pure derivabile con continuità nello zero, perciocché $ h\in C^2(\mathbb{R}) $, q.e.d.
NOTA: debbo (e voglio) ringraziare EvaristeG per i suoi essenziali suggerimenti sul problema: è certo che senza il suo aiuto non sarei mai giunto a queste conclusioni! Grazie, Sam.
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 05 mar 2005, 14:41, modificato 5 volte in totale.
stoooooooooooooooooop!HiTLeuLeR ha scritto: Dal momento che $ f(\cdot)\in C^2(\mathbb{R}) $, la funzione $ x\mapsto [f'(x)]^2 $ è derivabile con continuità al primo ordine in $ \mathbb{R} $, onde poterne dedurre compiutamente che: $ \displaystyle{\exists \lim_{x \to 0} \frac{\partial_x [f'(x)]^2}{\partial_x f(x)}} $ $ \displaystyle{ = \lim_{x \to 0} \frac{2f''(x)f'(x)}{f'(x)} = 2\lim_{x \to 0} f''(x) = 0} $, ove (...). Di qui, applicando il teorema di De L'Hopital...
Il teorema di De l'Hopital puoi applicarlo solo se esiste un intorno del punto limite in cui la derivata della funzione al denominatore non si annulla mai...concordi?
E questo chi te lo dice? Sicuro che sia vero?
Gli zeri di $ f' $ possono benissimo accumularsi attorno allo zero...
Se $ f'(\cdot) $ fosse identicamente nulla in un intorno non degenere, anche solo unilatero, del punto $ x_0 := 0 $, $ f(\cdot) $ ne risulterebbe ivi costante, e quindi nulla, per aver supposto $ f(0) = 0 $, in contraddizione con l'ipotesi secondo cui: $ f(x) > 0 $, per ogni $ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} $. Se viceversa gli zeri di $ f'(\cdot) $ si accumulassero attorno ad $ x_0 $, pur restando tuttavia isolati, allora la $ f(\cdot) $ dovrebbe possedere un'infinità (almeno numerabile) di punti critici in un intorno dello stesso $ x_0 $ piccolo a piacere, e questo mi pare sia inammissibile, per una funzione di classe $ C^1 $. Anyway, mi si lasci dirlo: "mon Dieu, qual dimenticanSa"... 
EDIT: in realtà non ci ho nemmeno riflettuto, è tirata lì, ad sensum. Domani ci penso mejo, va'! A quest'ora, il naso può anche lasciarsi ingannare...
EDIT: in realtà non ci ho nemmeno riflettuto, è tirata lì, ad sensum. Domani ci penso mejo, va'! A quest'ora, il naso può anche lasciarsi ingannare...
Uh Uh ...
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{array}\right. $
questa è continua e derivabile e si annulla su un insieme che ha 0 come punto di accumulazione.
Il suo integrale (che esiste) è dunque una funzione C-1 la cui derivata si comporta proprio come tu neghi che possa comportarsi.
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{array}\right. $
questa è continua e derivabile e si annulla su un insieme che ha 0 come punto di accumulazione.
Il suo integrale (che esiste) è dunque una funzione C-1 la cui derivata si comporta proprio come tu neghi che possa comportarsi.
