Riguardo agli iperpiani equalizzanti ... ecco perchè il problema mi sembrava noto e al tempo stesso non mi veniva in mente dove l'avessi sentito (per intercessione di Borsuk e Ulam, ora ricordo tutto. Miracolooo!) :
siano A_1, ... , A_n n regioni limitate e Lebesgue-misurabili in R^n (volendo si può scegliere qualsiasi altra misura compatibile con la continuità); allora esiste un iperpiano di R^n che divide ogni A_i in due parti di eguale misura.
dim : sia v un punto della sfera S={x in R^n | ||x||=1}; sia H_v(d) la famiglia di iperpiani perpendicolari alla retta per v e per l'origine, dove d indica la distanza tra l' iperpiano e l'origine; ovviamente, fissato i tra 1 e n, esiste d_i t.c. H_v(d_i) taglia a metà A_i. Quindi possiamo definire f : S ---> R^(n-1) come
f(v)=( d_2-d_1 , d_3 - d_2 , ... , d_n - d_(n-1) )
con un'opportuna scelta dei d_i (quando ce ne sia più d'uno) questa funzione è continua [esercizio per marco
], anzi è liscia...concordiamo che, trasformando v in -v le distanze dall'origine cambino di segno concordemente con l'orientazione dell'iperpiano, di modo che f(-v)=-f(v).
Per il teorema di Borsuk - Ulam, esiste w in S t.c. f(w)=f(-w), quindi f(w)=0, quindi H_w(d_1) , ... , H_w(d_n) coincidono e dunque tale iperpiano biseca tutte le n regioni.
CVD
Penso che questo possa risolvere la faccenda, con qualche accorgimento...tipo fare delle palline attorno ai punti e mandare i raggi a zero...oppure non c'azzecca niente e ho solo postato una dimostrazione figa ma inutile.
Fate voi.
Per Borsuk-Ulam ... beh, marco, quanto ne sai dei gradi delle applicazioni di S^n in sè ? Come potresti riformulare il teo in termini di applicazioni da sfere in sfere, non necessariamente della stessa dimensione ?
Scusa. Voleva essere una facezia sulla mia manifesta incapacità di fare bene Topologia ed era una velata richiesta di aiuto a chi è palesemente più preparato del sottoscritto.
