Ciao. Qualcuno si ricorda ancora della
retta equalizzante? Nello caso in tre dimensioni, ci eravano lasciati con un buco nella dimostrazione che richiedeva un lemmino topologico. Dato che ora si può parlare anche di roba difficile... rieccolo:
Lemma Equatoriale:
Ho una funzione dispari e continua da $ S^2 $ a $ \mathbf R $. Allora il suo insieme degli zeri contiene una componente connessa che contiene una coppia di punti antipodali. Una siffatta componente la chiamiamo equatore.
Qualche idea?
Ciao. M.
Lemma equatoriale
Lemma equatoriale
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Ehm.... non al 100%, ma mi sembra ragionevole.
Boh, provo a fare una dimostrazione alla Lazzeri: dando un po' di bottarelle alla funzione riesci a fare sì che il luogo di zeri sia fatto bene (una sottovarietà compatta). Come tale è l'unione disgiunta di un numero finito di cerchiolini. Se dimostro che sono in numero dispari direi che sono a posto: i punti antipodali di un cerchiolino sono () nello stesso cerchiolino [e ho vinto] () in un altro cerchiolino (e così ne scarto due).
Altra idea: fissa i poli N e S.
Puoi dire chi sono i cerchiolini che lo circondano e quali no: i primi sconnettono N da S, i secondi no. I secondi senz'altro non sono equatori (un equatore sconnette N da S); butto via questi secondi e tengo solo i primi.
La situazione è simile a Giove: una serie di cerchi "concentrici" (meglio: nidificati). Siccome andando da N a S, c'è un numero dispari di cambi di segno (puoi scegliere un cammino che non tanga i cerchiolini e che li attraversi tutti una e una sola volta), i cerchi devono essere dispari. Quello centrale è l'equatore.
Boh... Ti torna? Ciao. M.
Boh, provo a fare una dimostrazione alla Lazzeri: dando un po' di bottarelle alla funzione riesci a fare sì che il luogo di zeri sia fatto bene (una sottovarietà compatta). Come tale è l'unione disgiunta di un numero finito di cerchiolini. Se dimostro che sono in numero dispari direi che sono a posto: i punti antipodali di un cerchiolino sono () nello stesso cerchiolino [e ho vinto] () in un altro cerchiolino (e così ne scarto due).
Altra idea: fissa i poli N e S.
Puoi dire chi sono i cerchiolini che lo circondano e quali no: i primi sconnettono N da S, i secondi no. I secondi senz'altro non sono equatori (un equatore sconnette N da S); butto via questi secondi e tengo solo i primi.
La situazione è simile a Giove: una serie di cerchi "concentrici" (meglio: nidificati). Siccome andando da N a S, c'è un numero dispari di cambi di segno (puoi scegliere un cammino che non tanga i cerchiolini e che li attraversi tutti una e una sola volta), i cerchi devono essere dispari. Quello centrale è l'equatore.
Boh... Ti torna? Ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Sono le "bottarelle" alla funzione che mi preoccupano ... i luoghi di zeri possono essere fatti male quanto vogliono e dire che si possano con tranquillità far diventare una sottovarietà ... mi lascia un po' perplesso. Inoltre, se si applicano con tranquillità degli omeomorfismi alla sfera, la disparità va a farsi benedire e allora bisogna stare attenti a non usarla in seguito ...
Btw : hai avuto Lazzeri ? (LOL, anch'io ci sto seguendo un corso) Non è che per sbaglio conosci un certo Bruno Martelli ? (dovrebbe avere più o meno la tua età, era un IMO '92) E' il nostro esercitatore al corso di Lazzeri e ha studiato qua a Pisa.
Btw : hai avuto Lazzeri ? (LOL, anch'io ci sto seguendo un corso) Non è che per sbaglio conosci un certo Bruno Martelli ? (dovrebbe avere più o meno la tua età, era un IMO '92) E' il nostro esercitatore al corso di Lazzeri e ha studiato qua a Pisa.
Ok. Lasciamo perdere le bottarelle. Almeno mi concederai che è un chiuso. Siamo su S2, quindi è un compatto.
Un compatto su S2 non può fare troppe stranezze. Ha un numero finito di c.c. Alcune saranno retraibili ad un p.to. Altre sono cerchiolini (eventualmente grassi). Se poi fossero degli otti con due o più buchi, anche meglio. Però puoi ancora dire chi sono quelle che circondano il polo N e chi no. Ecc...
Secondo me torna, senza omeomorfismi della sfera (a parte, che secondo me, puoi trasformare gli omeo mantenendo f dispari, ma lasciamo perdere...).
Lazzeri. Ebbene sì: Istituzioni di Geo Sup. Uno degli esami più brutti del mio piano di studi. Secondo me il suo metodo didattico lascia (lasciava) ALQUANTO a desiderare (ma questa è una mia opinione personale). Comunque, lui nonostante, sono riuscito a laurearmi =mente...
Bruno lo conosco bene (io pure sono stato un IMO'92...) e ne conservo un ottimo ricordo; penso che anche lui si ricordi di me. Se bazzica dalle parti di Pisa e hai modo di incontrarlo, salutamelo. Che fa? E' già prof.? E' ricercatore?
Un compatto su S2 non può fare troppe stranezze. Ha un numero finito di c.c. Alcune saranno retraibili ad un p.to. Altre sono cerchiolini (eventualmente grassi). Se poi fossero degli otti con due o più buchi, anche meglio. Però puoi ancora dire chi sono quelle che circondano il polo N e chi no. Ecc...
Secondo me torna, senza omeomorfismi della sfera (a parte, che secondo me, puoi trasformare gli omeo mantenendo f dispari, ma lasciamo perdere...).
Lazzeri. Ebbene sì: Istituzioni di Geo Sup. Uno degli esami più brutti del mio piano di studi. Secondo me il suo metodo didattico lascia (lasciava) ALQUANTO a desiderare (ma questa è una mia opinione personale). Comunque, lui nonostante, sono riuscito a laurearmi =mente...
Bruno lo conosco bene (io pure sono stato un IMO'92...) e ne conservo un ottimo ricordo; penso che anche lui si ricordi di me. Se bazzica dalle parti di Pisa e hai modo di incontrarlo, salutamelo. Che fa? E' già prof.? E' ricercatore?
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Uhm ... e perchè ha un numero finito di componenti connesse ??
In coord polari, prendi i punti $ (R,0, \alpha/n) $ per un certo $ 0<\alpha<2\pi $ e il punto $ (R,0,0) $. Questo è un chiuso, sta in S2 quindi è limitato, e dunque è compatto, ma ha una numerabilità di componenti connesse (lo so, è patologico, si può fare anche con cerchi, ma è più lungo da scrivere).
Inoltre, non è detto che un luogo di zeri separi due zone di segno opposto ... può essere un minimo.
Infine, Lazzeri a me sta piacendo moltissimo, nonostante, o forse proprio, per il modo in cui insegna. Certo, mi rendo conto che se uno non è più che amante della geometria, i suoi corsi possono essere tremendamente ostici...cmq, sì, B.Martelli è qui a Pisa, tiene un corso a Informatica e fa esercitazioni per un paio di corsi a matematica. Se mi capita l'occasione (ricevimento o altro) gli porto i tuoi saluti.
In coord polari, prendi i punti $ (R,0, \alpha/n) $ per un certo $ 0<\alpha<2\pi $ e il punto $ (R,0,0) $. Questo è un chiuso, sta in S2 quindi è limitato, e dunque è compatto, ma ha una numerabilità di componenti connesse (lo so, è patologico, si può fare anche con cerchi, ma è più lungo da scrivere).
Inoltre, non è detto che un luogo di zeri separi due zone di segno opposto ... può essere un minimo.
Infine, Lazzeri a me sta piacendo moltissimo, nonostante, o forse proprio, per il modo in cui insegna. Certo, mi rendo conto che se uno non è più che amante della geometria, i suoi corsi possono essere tremendamente ostici...cmq, sì, B.Martelli è qui a Pisa, tiene un corso a Informatica e fa esercitazioni per un paio di corsi a matematica. Se mi capita l'occasione (ricevimento o altro) gli porto i tuoi saluti.
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Simo_the_wolf
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
Per caso questo teorema è simile a questo (in realta il tuo non l'ho capito marco...): Abbiamo una funzione continua che ad ogni punto della sfera associa un numero reale.
Dimostrare che esiste una coppia di punti della sfera diametralmente opposti i cui valori sono uguali (un esempio può essere la temperatura sulla superficie del sole, che dovrebbe essere continua)
A quanto ne so questo teorema è stato dimostrato da relativamente, verso il 1950 da non ricordo chi...
Dimostrare che esiste una coppia di punti della sfera diametralmente opposti i cui valori sono uguali (un esempio può essere la temperatura sulla superficie del sole, che dovrebbe essere continua)
A quanto ne so questo teorema è stato dimostrato da relativamente, verso il 1950 da non ricordo chi...
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MindFlyer
@Simo_the_wolf: stai facendo un po' di confusione. 
Forse ti stai riferendo al teorema di Borsuk-Ulam, che però parla di 2 funzioni continue da una superficie sferica a R, le quali coincidono entrambe in 2 punti antipodali (l'esempio classico è: su ogni pianeta vi sono 2 punti antipodali con la stessa temperatura e pressione).
Il risultato si generalizza a superfici iper-sferiche in R^n, ovviamente prendendo n-1 funzioni.
Comunque tutto ciò non ha a che fare con il teorema del topic (se non per il fatto che entrambi parlano di punti antipodali su sfere e di funzioni continue).
Forse ti stai riferendo al teorema di Borsuk-Ulam, che però parla di 2 funzioni continue da una superficie sferica a R, le quali coincidono entrambe in 2 punti antipodali (l'esempio classico è: su ogni pianeta vi sono 2 punti antipodali con la stessa temperatura e pressione).
Il risultato si generalizza a superfici iper-sferiche in R^n, ovviamente prendendo n-1 funzioni.
Comunque tutto ciò non ha a che fare con il teorema del topic (se non per il fatto che entrambi parlano di punti antipodali su sfere e di funzioni continue).
...mmmh. Avrei dovuto studiare meglio Geometria II? Boh, è possibile. Comincio a nutrire il sospetto che nell'enunciato manchi qualche ipotesi...EvaristeG ha scritto:Uhm ... e perchè ha un numero finito di componenti connesse ??
In coord polari, prendi i punti $ (R,0, \alpha/n) $ per un certo $ 0<\alpha<2\pi $ e il punto $ (R,0,0) $. Questo è un chiuso, sta in S2 quindi è limitato, e dunque è compatto, ma ha una numerabilità di componenti connesse (lo so, è patologico, si può fare anche con cerchi, ma è più lungo da scrivere).
(il lemma lo applicavo con funzioni che, grosso modo, sono lineari a tratti, con un numero finito di tratti, per giunta, su cui sfido chiunque a trovarmi il contresempio)
Spiegami bene la tua notazione di coordinate polari: sono raggio, colatitudine, longitudine? Quindi sono una successione di punti sull'equatore che si accumulano in mezzo all'Oceano Atlantico?
Ho qualche reminiscenza che mi suona nelle orecchie ("un chiuso ed un compatto disgiunti hanno distanza positiva...") boh... credo che l'unica conclusione è che sono troppo arrugginito per avventurarmi a fare dimostrazioni di topologia.
Beh, di si'uro quel controesempio non è zero di funzioni dispari (deve sconnettere S2), come minimo.
Per la questione che l'arco da un polo all'altro possa incocciare in un minimo in zero non mi preoccupa. Se riesco a suddividere in fasce gioviane S2, direi che vinco (con un po' di fortuna, riesco anche a fare a meno della finitezza...). Boh, ci penzo. Ti faccio sapere.
M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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'Spetta... Vendimelo un po', l'enunciato di questo teorema, che mi sembra chiuda il piano equalizzante.MindFlyer ha scritto:Forse ti stai riferendo al teorema di Borsuk-Ulam, che però parla di 2 funzioni continue da una superficie sferica a R, le quali coincidono entrambe in 2 punti antipodali
Infatti, nell'altro thread ho tre funzioni dispari e continue, una rossa, una blu e una verde; Blu-Rossa e Verde-Rossa sono ct e dispari. Uso TBU (modulo verificare che l'enunciato dica quello che ho interpretato...), trovo due punti antipodali in cui le funzioni coincidono. Però sono funzioni dispari: per coincidere sugli antipodi, devono valere zero entrambe. Allora in quei punti Rossa = Blu = Verde e ho trovato il piano equalizzante. Torna?
Eh, purtroppo il nostro Mind ha le idee un po' confuse sulle dimensioni.
Teorema di Borsuk-Ulamo : Data una qualsiasi funzione continua $ f:\mathbb{S}^n\to\mathbbl{R}^n $, esiste un punto $ x\in\mathbb{S}^n $ tale che $ g(x)=g(-x) $.
Quindi, nel tuo caso, servirebbe una funzione dispari continua a valori nel piano.
BTW : Ci stiamo pensando in molti a questa faccenda del lemma equatoriale, almeno a tempo perso, ma non è saltato fuori nulla di concreto. Sembra vero, ma la disparità e le componenti connesse non sembrano andare a braccetto in nessun risultato noto ... (non che ce ne siano noti moltissimi, ma un po' di roba sulle funzioni dispari c'è).
Teorema di Borsuk-Ulamo : Data una qualsiasi funzione continua $ f:\mathbb{S}^n\to\mathbbl{R}^n $, esiste un punto $ x\in\mathbb{S}^n $ tale che $ g(x)=g(-x) $.
Quindi, nel tuo caso, servirebbe una funzione dispari continua a valori nel piano.
BTW : Ci stiamo pensando in molti a questa faccenda del lemma equatoriale, almeno a tempo perso, ma non è saltato fuori nulla di concreto. Sembra vero, ma la disparità e le componenti connesse non sembrano andare a braccetto in nessun risultato noto ... (non che ce ne siano noti moltissimi, ma un po' di roba sulle funzioni dispari c'è).
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MindFlyer
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MindFlyer
Ah, ecco! Siccome ho le idee confuse sulle dimensioni, non mi ero avveduto della lunghezza delle onde emesse dai pixel di quella scritta. E non vedendo che erano leggermente tendenti all'azzurro, non ho potuto dedurre che si trattasse di un link.
Grazie, appena ho un po' di tempo rileggo tutto e ti dico il mio infimo parere.
Anche se, qualora il problema dovesse dirsi risolto, bisognerebbe necessariamente ricrearlo nel nuovo forum e completarlo! Almeno, credo.
Grazie, appena ho un po' di tempo rileggo tutto e ti dico il mio infimo parere.
Anche se, qualora il problema dovesse dirsi risolto, bisognerebbe necessariamente ricrearlo nel nuovo forum e completarlo! Almeno, credo.