1 è un numero primo - advanced

[Marco]

Questo messaggio proviene dall'altro thread, nel Glossario. Si tratta di roba di Algebra Superiore e quindi va, giustamente, nella zona opportuna.

Si stava parlando del fatto se i numeri della forma -p (con p intero primo fossero o meno primi). Ecco la mia replica

Il concetto naif di numero primo può essere esteso e complicato anche ad oggetti algebrici diversi dall'insieme N dei naturali [o, meglio, Z degli interi].

Nessuno di voi ha mai cercato di trovare i "fattori primi" negli interi di Gauss? Se sapete cos'è un numero complesso, lo sapete fare tranquillamente; è divertente: provateci!!

La cosa che succede è che in queste strutture (che non deifinirò meglio di così) in generale ha senso definire i "numeri" primi a meno di elementi invertibili.

Che significa? Che se esiste un "intero" $ u $ il cui inverso moltiplicativo è un "intero", allora un "primo" $ p $ non cambia se viene sostituito da $ up $.

Ritorniamo sulla terra. Che significa su Z? In Z gli unici interi che hanno inverso sono $ \pm 1 $. Per questo si può dire che $ p $ e $ -p $, dal punto di vista dei fattori primi, sono sostanzialmente la stessa cosa.

Ed è per questo che 1 non è né primo né composto [dato che è in verità un invertibile...]

[HiTLeuLeR]

Che bello, finalmente si può discutere liberamente (anche) di certa robaccia!!!

Orbene, supponiamo sia $ \mathfrak{D} $ un dominio integrale. In questo contesto, possiamo assumere (nonostante che l'estrema generalizzazione dei concetti di cui intendo dire si riveli, sostanzialmente, poco meno che banale) che un dominio integrale rappresenta, né più né meno, un qualsivoglia sottoinsieme $ \mathfrak{D} $ non vuoto di $ \mathbb{C} $ chiuso sotto le operazioni di somma, differenza e prodotto ordinarie fra numeri complessi e tale che: $ \mathbb{Z}\subseteq\mathfrak{D} $. In questo senso, $ \mathbb{Z} $ stesso costituisce (evidentemente) un dominio integrale.

Se $ \xi_1, \xi_2\in\mathfrak{D} $ e $ \xi_1 \neq 0 $, diciamo che $ \xi_1 $ divide $ \xi_2 $ in $ \mathfrak{D} $, ovvero che $ \xi_1 $ è un divisore di $ \xi_2 $ in $ \mathfrak{D} $, o ancora che $ \xi_2 $ è divisibile per $ \xi_1 $ in $ \mathfrak{D} $, e scriviamo $ \xi_1\mid\xi_2 $, quando non vi siano ambiguità di sorta, sse esiste $ \alpha\in\mathfrak{D} $ tale che: $ \xi_2 = \alpha\xi_1 $. Diciamo quindi che un certo elemento $ u\in\mathfrak{D} $ rappresenta un'unità, o un elemento unitario, di $ \mathfrak{D} $ sse $ u\mid 1 $. Evidentemente, le unità di $ \mathbb{Z} $ appartengono tutte e sole all'insieme $ \{\pm 1\} $.

Diciamo susseguentemente che un elemento generico $ \xi\in\mathfrak{D} $ è irriducibile in $ \mathfrak{D} $ sse ogni fattorizzazione di $ \xi $ del tipo $ \xi = \xi_1\xi_2 $, con $ \xi_1, \xi_2\in\mathfrak{D} $, implica necessariamente che almeno uno fra i fattori a secondo membro debba essere un elemento unitario di $ \mathfrak{D} $. In $ \mathbb{Z} $, gli elementi irriducibili sono tutti e soli del tipo $ \pm p $, essendo $ p\in\mathfrak{P}\cup\{1\} $.

Se $ \xi_1, \xi_2\in\mathfrak{D} $, $ u $ è un elemento unitario di $ \mathfrak{D} $ e $ \xi_1 = u\xi_2 $, diciamo poi che $ \xi_1 $ è (unitariamente) associato a $ \xi_2 $ in $ \mathfrak{D} $. In $ \mathbb{Z} $, ogni intero non nullo possiede un unico associato (distinto da se medesimo), i.e. il suo opposto.

Infine, giusto per arrivare al cuore della questione, diciamo che un elemento non unitario e non nullo $ \pi\in\mathfrak{D} $ è primo in $ \mathfrak{D} $ sse $ \pi $ soddisfa la proprietà di Euclide, ovvero sse: $ \forall\alpha, \beta\in\mathfrak{D}: \pi \mid \alpha\beta\ \Longrightarrow\ \pi\mid\alpha\ \mbox{vel}\ \pi \mid \beta. $ Direi che, a questo punto, il nostro ma_go può pure rispondersi da solo...

[Marco]

diciamo che un elemento non unitario e non nullo $ \pi\in\mathfrak{D} $ è primo in $ \mathfrak{D} $ sse $ \pi $ soddisfa la proprietà di Euclide, ovvero sse: $ \forall\alpha, \beta\in\mathfrak{D}: \pi \mid \alpha\beta\ \Longrightarrow\ \pi\mid\alpha\ \mbox{vel}\ \pi \mid \beta. $ Direi che, a questo punto, il nostro ma_go può pure rispondersi da solo...

Che spettacolo!! Tutto chiarissimo. Giusto per il gusto di trovare il pelo nell'uovo, ti segnalo una piccola imprecisione.

Alla prox. M.

[HiTLeuLeR]

Essì, tieni ragione! Bon, I'm going to fix my mistake. Oh!? Sempre vigile, mi raccomando...

[HiTLeuLeR]

Nessuno di voi ha mai cercato di trovare i "fattori primi" negli interi di Gauss? Se sapete cos'è un numero complesso, lo sapete fare tranquillamente; è divertente: provateci!!

Vabbe', giusto qualche suggerimento per rispondere alla questione del buon Marco! Partiamo dal seguente...

Lemma #1: siano $ \mathfrak{D} $ un dominio integrale ed $ u\in\mathfrak{D} $. C.N.S. affinché $ u $ sia unitario in $ \mathfrak{D} $ è che l'inverso moltiplicativo di $ u $ (rispetto al prodotto ordinario fra numeri complessi) sia esso stesso un elemento di $ \mathfrak{D} $.

DIM.: se $ u $ è unitario in $ \mathfrak{D} $, secondo definizione: $ u\mid 1 $, ovvero esiste $ v\in\mathfrak{D} $ t.c.: $ 1 = uv $. Ergo, poiché $ \mathfrak{D} $ è un sottoanello di $ \mathbb{C} $, si ha che $ v $ rappresenta l'inverso moltiplicativo di $ u $ rispetto al prodotto ordinario nei complessi, ovvero $ v = u^{-1} $, cosicché (in definitiva) $ u^{-1}\in\mathfrak{D} $.

Viceversa, se $ u^{-1}\in\mathfrak{D} $, è banalmente determinato un elemento $ v\in\mathfrak{D} $, essendo $ v := u^{-1} $, tale che: $ 1 = uv $, onde dedurne (ancora per definizione) che $ u $ è unitario in $ \mathfrak{D} $, dacché $ u $ divide $ 1 $ in $ \mathfrak{D} $. Di qui l'asserto, q.e.d.

Ciò premesso, si ponga a questo punto $ [tex] $\mathbb{Z} := \{a+ib: a, b\in\mathbb{Z}\}[/tex]. E' immediato constatare che: i) l'insieme così introdotto è chiuso rispetto alle operazioni di somma, sottrazione e prodotto ordinariamente definite sui numeri complessi; ii) $ [tex] $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[/tex]. Tanto consente di concludere che $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex] rappresenta giust'appunto un dominio integrale (complesso), cui classicamente si attribuisce il nome di anello degli interi di Gauss. Gli elementi di $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex], per consistenza, sono detti gli interi di Gauss.

Il passo preliminare nello studio degli elementi primi di questa struttura consiste nella determinazione delle sue unità. In questo senso, sia $ z := a+ib $, con $ a,b\in\mathbb{Z} $ ed $ a^2 + b^2 \neq 0 $, un elemento generico non nullo di $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex]. Sotto queste assunzioni, $ z $ è invertibile in $ \mathbb{C} $ (rispetto al prodotto), e il suo inverso è rappresentato dal numero complesso $ z' := (a - ib)/(a^2 + b^2) $.

In base al lemma #1, avviene che $ z $ è unitario in $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex] sse $ [tex] $z'\in\mathbb{Z}[/tex], ovvero sse $ |a|/(a^2 + b^2), |b|/(a^2+b^2)\in\mathbb{Z} $. Orbene, se $ \min(|a|, |b|) > 0 $, chiaramente: $ 0 < |a|/(a^2 + b^2) < 1 $, e perciò: $ |a|/(a^2 + b^2)\not\in\mathbb{Z} $. Ne seguita che, là dove $ [tex] $z'\in\mathbb{Z}[/tex], necessariamente $ |a| = 0 $ oppure $ |b| = 0 $, onde trarne che gli elementi unitari di $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex] sono tutti e soli appartenenti all'insieme $ \{\pm 1, \pm i\} $.

Adesso qualche valoroso si azzardi a calcolare gli elementi primi di $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex]: la questione non è certo indegna, e a questo punto tutto quel che serve è a portata di mano... Non resta che metterci un po' di buona volontà!

[BlaisorBlade]

Una precisazione: nell'anello formato da $ a+b \sqrt{5} $ ho letto che cade, se non sbaglio, l'unicità della scomposizione in fattori primi (ad esempio, 9 = 3*3 e, mi pare, $ 9 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}) $... qualcuno precisava che invece bisogna distinguere tra primo e irriducibile e quindi veniva conservata l'unicità della scomposizione in fattori primi... qualcuno mi sa chiarire bene la questione?

[HiTLeuLeR]

Una precisazione: nell'anello formato da $ a+b \sqrt{5} $ ho letto che cade, se non sbaglio, l'unicità della scomposizione in fattori primi (ad esempio, 9 = 3*3 e, mi pare, $ 9 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}) $...

Beh, senti, mettiamoci un po' d'accordo... L'anello cui ti riferisci qual è?!? Azzardando ragionevoli ipotesi, ché la precisione e il rigore, qui più che mai necessari, par che risultino per lo più a tutti sconosciuti, il tuo intervento si apre con un riferimento più o meno fumoso all'insieme $ \mathfrak{D}_1 := \{a+b\sqrt{5}: a, b\in\mathbb{Z}\} $, il quale effettivamente costituisce un dominio integrale complesso. Tuttavia, poco oltre, proponendo un esempio perfettamente allineato alla questione della fattorizzazione unica, ti si trova a scomporre il $ 9 $ da tutt'altra parte, e precisamente nel sottoanello di $ \mathbb{C} $ definito dall'insieme $ \mathfrak{D}_2 := \{a+ib\sqrt{5}: a, b\in\mathbb{Z}\} $.

Sia come sia, invitando te e gli altri (per il solo beneficio della comunità) ad essere un pochetto più precisi quando scrivete di problemi e soluzioni, assumo (con il mio solito arbitrio [...]) che la questione sia incentrata su $ \mathfrak{D}_2 $, e di conseguenza ti rispondo! Concedimi innanzitutto una premessa, indispensabile comunque per coprire, quand'anche a te non appartengano, le lacune conoscitive dei meno esperti in materia: nelle curiose strutture di cui qui stiamo ragionando, come pure più semplicemente in $ \mathbb{Z} $, la presenza degli elementi unitariamente associati suggerisce e impone di abbandonare l'idea di una fattorizzazione unica, quand'anche possibile, intesa nell'accezione classica che si attribuisce al qualificativo "unica" contestualmente al monoide moltiplicativo dei numeri naturali.

Nei domini integrali, come pure in ambienti più generali di cui intenzionalmente fin qui si è taciuto, l'unicità della fattorizzazione (quand'anche questa sia possibile) si assume soddisfatta se i fattori coinvolti nella decomposizione in prodotto di questo o quell'altro intero (btw, gli elementi di un dominio integrale sono detti, senza troppi scrupoli, gli interi del dominio, e si distinguono dagli interi ordinari riservando per questi ultimi la nomenclatura di interi razionali) vengono determinati a meno di un'associazione tramite elementi unitari: più precisamente, due decomposizioni di uno stesso intero che si ottengano l'una dall'altra moltiplicando alcuni fattori per uno o più elementi unitari sono ritenute equivalenti, e come tali si assumono indistinte. L'unicità della fattorizzazione, là dove possibile, va dunque intesa in questa nuova accezione, tutto qui!!! Ecco pure perché, a un livello più profondo, non ha alcun senso giustificare l'esclusione dell'unità dal novero dei primi di $ \mathbb{N} $ adducendo giustificazioni parecchio aleatorie circa il fatto che, diversamente, l'unicità della fattorizzazione in primi ne risulterebbe (oddio!?!) irrimediabilmente compromessa. Quelle sono favolette che si raccontano ai bambini dell'asilo, casomai... L'esclusione è "per scelta", tanto basti!

E ciò detto, veniamo finalmente al tuo caso, BlaisorBlade. In effetti, l'insieme $ \mathfrak{D}_2 $, in quanto sottoanello di $ \mathbb{C} $, è giusto l'esempio di un dominio integrale complesso in cui la fattorizzazione (in irriducibili) degli interi manca di essere unica, nel senso di cui ho già diffusamente detto. Come provarlo? Beh, ci hai pensato già tu! Gli interi $ 3 $ e $ 2 \pm i\sqrt{5} $ sono irriducibili in $ \mathfrak{D}_2 $ (chi ce lo dimostra?!?). Inoltre, non sono a due a due associati. Infine: $ 9 = 3^2 = (2 + i\sqrt{5})(2 - i\sqrt{5}) $, ovvero esiste un elemento del dominio integrale che possiede in $ \mathfrak{D}_2 $ due fattorizzazioni in irriducibili unitariamente non equivalenti, e come tali distinte. Tanto penso che possa bastare...

EDIT: posso giustificarmi adducendo il vessato pretesto dell'ora tarda?!? O debbo rifilarvi la storia dell'invasione aliena che mi ha distratto quel tanto dalle glorie della scrittura?!? Ah, a proposito... Perché qualcuno non sistema il clock del server? Mente in modo spudorato...

[Marco]

sono primi in $ \mathfrak{D}_2 $ (chi ce lo dimostra?!?).

Ok. Lo dimostro io. Per fissare le idee, definisco $ \alpha := \sqrt{-5} $.

Gli elementi del nostro dominio sono della forma $ a + b \alpha $, con $ a,b $ interi.

Definisco la norma di $ a + b \alpha $ così:

$ N( a + b \alpha ) = ( a + b \alpha )( a - b \alpha ) = a^2 + 5 b^2 $

Questa funzione ha tre belle proprietà: è a valori interi, rispetta i prodotti (ossia $ N(xy) = N(x)N(y) $) e un elemento è unitario sse ha norma +/-1.

Questo è molto utile quando si vuole fattorizzare, perché la norma dei fattori deve dividere la norma del numero di partenza.

Nel nostro caso, stiamo cercando una fattorizzazione di 3. $ N(3) = 9 $. Supponiamo che sia fattorizzabile come $ 3 = xy $. Calcolo le norme: $ 9 = N(x)N(y) $ e, dato che non voglio fattori che siano invertibili, deve essere $ N(x)=N(y)=3 $ (notare che, in questo dominio, la norma è non negativa).

Allora cerco a e b t.c. $ a^2 + 5 b^2 = 3 $. E' facile vedere che tale equazione non è mai soddisfatta. Quindi un numero nel dominio $ \mathbf Z[\sqrt{-5}] $, con norma 9 (e tali sono 3 e $ 2 \pm \alpha $) è irriducibile. []

La questione di B.B. è perfettamente pertinente. E dipende, come lui giustamente dice, dal fatto che i numeri di cui ho dimostrato l'irriducibilità, non sono primi. Ricordo che un numero è primo se succede che, dividendo un prodotto, allora divide almeno un fattore (e non è invertibile).

I numeri in questione, 3 e $ 2 \pm \alpha $ non sono primi. Infatti $ 3 \mid 9 = (2+\alpha)(2-\alpha) $, ossia 3 divide un prodotto, ma 3 non divide nessuno dei fattori (lo si dimostra calcolando le norme: se 3 dividesse uno dei fattori, il loro rapporto sarebbe un'unità, ma le unità sono solo +/-1...). Analogamente per gli altri numeri. []

@Hit: Occhio alla nomenclatura! Normalmente siamo autorizzati a confondere i termini primo e irriducibile. Nelle ultime righe del tuo post, dove svolgi l'esempio di B.B., dici primo, ma invece è irriducibile. I due concetti in questo anello non sono la stessa cosa, come ho dimostrato poc'anzi.

Ciao. M.

[HiTLeuLeR]

D'oooh... Correggo suuubitoooooo!!!