Sigma algebre e topologie!

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pazqo
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Sigma algebre e topologie!

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E se a Euler tocca il quello di teoria dei numeri, io inauguro quello di matematica "teorica" iniziando con un problema aperto ma poco noto, che magari qualcuno di voi ha idea di come portare avanti.
Essendo una sezione teorica, non penso ci sia bisogno di definizioni extra:


1) Dato un insieme $ X $ con $ n $ elementi, calcolare il numero di $ \sigma $-algebre possibili su $ X $.
2) Dato un insieme $ X $ con $ n $ elementi, calcolare il numero di topologie possibili su $ X $.
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

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Più che un problema aperto, è un problema mal posto.
Mi spiego meglio.

Se dici "calcolare", intendi forse dire "trovare una funzione calcolabile". E questa esiste banalmente, e non è altro che il programma (scritto in un linguaggio Turing-equivalente) che, dato n, ti calcola la funzione "Topologie su n elementi", o "Sigma-algebre su n elementi". In altre parole, si può dimostrare che la funzione che vuoi è mu-ricorsiva, in modo piuttosto straightforward.
Ciò che probabilmente non si può fare, è esprimere questa funzione come composizione di alcune funzioni aritmetiche, tipo +, *, etc. Non so se questo sia o meno un problema aperto (anche se ho già sentito girare voci del genere), comunque bisognerebbe chiarire esattamente quali sono i confini del problema.
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pazqo
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essendo che le $ \sigma $-algebre sono limitate da $ 2^{2^n} $, e che sono ben definite, direi che la funzione che associa a $ n $ il numero di $ \sigma $-algebre è calcolabile, come dicevi tu. Ovviamente la domande vuole essere relativa a una formula chiusa, non ricorsiva.
Devo dire che, mentre il problema sulle topologie è aperto, questo dovrebbe essere risolvibile usando una certa struttura algebrica... :-)
O perlomeno, se proprio non fornisce una soluzione, fornisce almeno una rilettura del problema in chiave "informatica" :-)

ciaooo
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Perdonami se insisto, ma ho l'insana abitudine di esigere chiarezza quando si parla di "esprimere funzioni in forma chiusa".
E qui più che altrove, dato che qui la matematica di cui si discute è "avanzata", sarebbe opportuno un certo rigore e delle definizioni chiare.
Ti chiedo di avere pazienza, e di dare una caratterizzazione delle formule in forma chiusa.
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pazqo
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MindFlyer ha scritto: Ti chiedo di avere pazienza, e di dare una caratterizzazione delle formule in forma chiusa.
Per me "formula chiusa" è una formula che dipende solamente dai parametri coinvolti:
$ f(n) $ se l'espressione della $ f $ non è ricorsiva e la sua forma è la stessa per ogni $ n $.
Ad esempio:

$ 1 + 2 + ... + n $

non dipende solo da $ n $, visto che se cambia $ n $ cambia il numero degli addendi coinvolti.

invece $ \frac{n(n+1)}{2} $ è una formula chiusa.

Tu cosa intendi per formula chiusa? Non riesco a dare una definizione più formale.

I problemi nascono se ci sono di mezzo funzioni come il fattoriale, il logaritmo etc... sono formule chiuse o ricorsive?
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pazqo ha scritto: I problemi nascono se ci sono di mezzo funzioni come il fattoriale, il logaritmo etc... sono formule chiuse o ricorsive?
E' quello che vorrei sapere! Se non lo sai tu... :D
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Beh, facciamo così. Sono accettate tutte le formule solite. Se vogliamo approssimare il numero di $ [tex] $\sigma[\tex]-algebre, tanto per avere una idea del comportamente asitntotico, direi che si può tralasciare il fattoriale ed escludere tutte le funzioni che si esprimono per ricorsione.

Comunque sei tu l'informatico teorico! chiedo spiegazioni ulteriori anche a te.
ciaoooo

pazqo
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pazqo ha scritto:Comunque sei tu l'informatico teorico! chiedo spiegazioni ulteriori anche a te.
Forse allora sarebbe il caso di aprire un thread apposito nella sezione di informatica.
Tutto quello che so fare è caratterizzare le funzioni calcolabili tramite le macchine di Turing, il lambda-calcolo e le funzioni mu-ricorsive.
Inoltre, ho paura che con la parola "ricorsivo" ci riferiamo a due concetti diversi. La ragione per cui le funzioni ricorsive primitive e mu-ricorsive si chiamano così è storico, e non ha nulla a che fare con una qualche ricorsione insita nella loro definizione.
Non so caratterizzare le formule scrivibili in forma chiusa, per il semplice fatto che nessuno me le ha mai definite, ed io stesso dubito che questa nozione sia mai stata universalmente accettata in matematica.
Per esempio, come dicevi prima, ci sono dei dubbi sul fatto che certe funzioni come il logaritmo debbano essere considerate in forma chiusa... E' chiaro che la moltiplicazione può essere vista come un'iterazione di somme, e l'elevamento a potenza può essere visto come un'iterazione di moltiplicazioni. Noi possiamo accettare tutte queste come formule scritte in forma chiusa, ma d'altra parte potremmo andare avanti definendo "superpotenze", e così via all'infinito. Quali di queste funzioni sono scritte in forma chiusa, secondo te? Basta assegnare un simbolo anche a queste funzioni, esattamente come si è fatto per il segno di moltiplicazione, per dare loro le sembianze di "formula chiusa". Ma ho paura che tra queste vi siano funzioni che non vogliamo includere nel nostro insieme... E' ovvio che qui c'è bisogno di qualche definizione.
Visto che, se ho ben capito, tu hai in mente una soluzione in qualche forma per il caso delle sigma-algebre, potresti dare una caratterizzazione di alcune particolari funzioni che includano anche quella che ci interessa, fornendone una "rappresentazione privilegiata". Potresti poi chiedere di trovare la rappresentazione privilegiata della particolare funzione che risolve il problema delle sigma-algebre. Questo avrebbe senso.
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pazqo
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MindFlyer ha scritto: Forse allora sarebbe il caso di aprire un thread apposito nella sezione di informatica.
Tutto quello che so fare è caratterizzare le funzioni calcolabili tramite le macchine di Turing, il lambda-calcolo e le funzioni mu-ricorsive.
Inoltre, ho paura che con la parola "ricorsivo" ci riferiamo a due concetti diversi. La ragione per cui le funzioni ricorsive primitive e mu-ricorsive si chiamano così è storico, e non ha nulla a che fare con una qualche ricorsione insita nella loro definizione.
In realtà ho studiato funzioni ricorsive e teoremi vari solamente nel corso di Logica 2, lo scorso anno. Esame dato durante il periodo didattico successivo con i risultati che puoi vedere... sono sicuro di avere la tua stessa nozione di funzione ricorsiva, che purtroppo non è quella "comune".

MindFlyer ha scritto:Per esempio, come dicevi prima, ci sono dei dubbi sul fatto che certe funzioni come il logaritmo debbano essere considerate in forma chiusa... E' chiaro che la moltiplicazione può essere vista come un'iterazione di somme, e l'elevamento a potenza può essere visto come un'iterazione di moltiplicazioni. Noi possiamo accettare tutte queste come formule scritte in forma chiusa, ma d'altra parte potremmo andare avanti definendo "superpotenze", e così via all'infinito. Quali di queste funzioni sono scritte in forma chiusa, secondo te? Basta assegnare un simbolo anche a queste funzioni, esattamente come si è fatto per il segno di moltiplicazione, per dare loro le sembianze di "formula chiusa". Ma ho paura che tra queste vi siano funzioni che non vogliamo includere nel nostro insieme... E' ovvio che qui c'è bisogno di qualche definizione.
mi viene in mente la funzione $ TOW(n) $ che consiste nel mettere una sopra l'altra, ad esmponente con la parentesi appoggiata a destra, $ n $ copie di $ n $:


$ \underbrace{n^{n^{n^{\dots^{n^n}}}}}_{n} $

e altre funzioni simili... non son certo formule chiuse!
MindFlyer ha scritto:Visto che, se ho ben capito, tu hai in mente una soluzione in qualche forma per il caso delle sigma-algebre, potresti dare una caratterizzazione di alcune particolari funzioni che includano anche quella che ci interessa, fornendone una "rappresentazione privilegiata". Potresti poi chiedere di trovare la rappresentazione privilegiata della particolare funzione che risolve il problema delle sigma-algebre. Questo avrebbe senso.
Purtroppo non ho in mente nessuna soluzione.... riguardo al fattoriale, dicevo che si può tralasciare la sua definizione ricorsiva assumendo la formula di Stirling. Questo non voul dire che il fattoriale rientrerà per forza nella formula....

ora vado all'univ, a dopo!
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Se tiri in ballo la formula di Stirling, allora vuoi solo trovare l'andamento asintotico. Ho capito bene?
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MindFlyer ha scritto:Se tiri in ballo la formula di Stirling, allora vuoi solo trovare l'andamento asintotico. Ho capito bene?
Più che altro, mi son limitato a dire che se proprio vogliamo limitarci a un comportamento asintotico, allora si può fare a meno del fattoriale:-)
Se qualcuno trova una "formula chiusa" non asintotica, ben venga!
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

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