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Limite

Inviato: 02 mar 2019, 13:29
da gup
$ $
Calcolare $$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n})^n$$
dove $a, b \in \mathbb{R}^{+}$.

Re: Limite

Inviato: 03 mar 2019, 17:51
da Leonhard Euler
Sei sicuro che il limite sia proprio quello? Penso invece che il limite che si tratti di $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^n+b^n)^\frac{1}{n} $.
Testo nascosto:
VERSIONE ERRATA:
$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a^\frac{1}{n}=1 $, il limite richiesto diventa: $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^n $=$ +\infty $

Re: Limite

Inviato: 03 mar 2019, 22:24
da gup
Hai ragione, mi sono sbagliato a scrivere.
Il limite che intendevo è $$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n}}{2}\right)^n$$

Re: Limite

Inviato: 03 mar 2019, 22:30
da gup
Comunque, per divertimento, ho provato a risolvere il limite che hai suggerito tu.
Testo nascosto:
$ $
Sia $m = \max\{a, b\}$. Allora si ha $$m = (m^n)^\frac{1}{n} \leq (a^n+b^n)^\frac{1}{n} \leq (2m^n)^\frac{1}{n} = 2^\frac{1}{n}m$$
Dato che $2^\frac{1}{n} \rightarrow 0$, per il teorema del confronto si ha che il limite cercato è $m$.

Re: Limite

Inviato: 04 mar 2019, 08:22
da fph
Leonhard Euler ha scritto:
03 mar 2019, 17:51
$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a^\frac{1}{n}=1 $, il limite richiesto diventa: $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^n $=$ +\infty $
Questo, purtroppo, è un errore comune che si fa quando si calcolano i limiti. Non puoi prendere una sottoespressione all'interno del tuo limite (per esempio $a^{1/n}$ e $b^{1/n}$ e passare al limite quella lasciando tutto il resto invariato. I teoremi che ti permettono di fare sostituzioni richiedono di calcolare contemporaneamente tutti i limiti delle varie sottoespressioni; non si possono calcolare limiti "un pezzo per volta".

Esempio: cercando di calcolare $\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)n - n$, non puoi rimpiazzare la quantità tra parentesi con il suo limite, $1$, lasciando tutto il resto dell'espressione invariato; i due limiti prima e dopo la sostituzione hanno valori diversi (zero e uno rispettivamente). Altro esempio molto simile a quello da cui sei partito: quanto fa $(2^{\frac1n})^n$?

Re: Limite

Inviato: 04 mar 2019, 12:41
da Leonhard Euler
$ $Ammetto di essere stato indecorosamente pigro nel calcolare $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n})^n $, pertanto mi correggo:
Sia $ m = \max\{a, b\} $, allora $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n})^n≥\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (2m^\frac{1}{n})^n=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^nm=+\infty $
Ora è il turno di $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n}}{2}\right)^n $
Testo nascosto:
Sostituendo $ p=1/n $, il limite diviene:
$ \lim\limits_{p \rightarrow 0} \left(\frac{a^p+b^p}{2}\right)^\frac{1}{p} $, che effettivamente ricorda la funzione media $ p $-esima, dove $ p=0 $, ovvero la media geometrica.
Sia $ L $ il limite che si vuole calcolare:
$ \ln(L)=\lim\limits_{p \rightarrow 0} \frac{\ln(\frac{a^p+b^p}{2})}{p} $
Questo limite è della forma $ \frac{0}{0} $, quindi si sfrutta la regola di De L'Hopital:
$ \ln(L)=\lim\limits_{p \rightarrow 0} \frac{a^p\ln(a)+b^p\ln(b)}{a^p+b^p}=\frac{\ln(ab)}{2} $
Da cui $ L=\sqrt{ab} $

Re: Limite

Inviato: 04 mar 2019, 16:10
da Fenu
Credo ci sia un errore nella ultima uguaglianza prima dello spoiler.. hai scritto "$(2m^n)^{1/n}=2^nm$" che è sagliato e pertanto ti porta alla conclusione errata (quel limite non tende a $+\infty$ ma bensì ad $m$).

Re: Limite

Inviato: 04 mar 2019, 17:05
da Leonhard Euler
Avevo semplicemente usato $ \frac{1}{n} $ al posto di $ n $, quindi il limite era per $ n $ a $ 0 $ e non a $ +\infty $. Ho quindi modificato il post precedente utilizzando $ n $.