OliForum Matematico

Sia $A_n \subset \mathbb{R}^n$. Per ogni $u, v \in A_n$ sappiamo che la distanza $d(u,v)$ è costante.
Qual è la cardinalità massima di $A_n$?

Questo è un risultato noto? Nel caso, come è la dimostrazione?

Di $\mathbb{R}^n$ non so molto, quindi potrei benissimo dire cavolate.

Voglio dimostrare che, detta $f(n)$ la quantità voluta, $f(n)=n+1$.

$f(n) \geq n+1$ perchè riesco a costruire un politopo regolare che soddisfa: per $n=1$ ho due punti (passo base). Suppongo che in $\mathbb{R}^n$ i vettori siano sull'equivalente di una sfera in $n$ dimensioni (per come li costruisco). Sia perciò $O$ il centro di tale (iper)sfera (e l'origine degli assi) e $y$ la proiezione dell'$n+1$-esimo vettore su $\mathbb{R}^n$, allora $y \equiv O$ perchè altrimenti l'$n+1$-esimo vettore non avrebbe la stessa distanza dagli altri $n$ (sono su un'ipersfera e quindi hanno lo stesso modulo). Ho quindi un politopo che soddisfa in $\mathbb{R}^{n+1}$ prendendo uno dei due vettori sull'asse (non entrambi perchè altrimenti la distanza tra i due sarebbe maggiore rispetto a tutte le altre coppie).

D'altra parte non esistono altre configurazioni perchè, ammettendo che gli $n$ vettori non abbiano circocentro, proiettando l'$n+1$-esimo su $\mathbb{R}^n$ non potremmo mai avere che le distanze tra l'$n+1$-esimo vettore e gli altri $n$ siano uguali (un cateto in comune e gli altri diversi).

@matpro98: scusa, ma non capisco quasi nulla di quello che stai scrivendo.

matpro98 ha scritto: Suppongo che in $\mathbb{R}^n$ i vettori siano sull'equivalente di una sfera in $n$ dimensioni (per come li costruisco).

per inciso, questa si chiama sfera anche in dimensione alta. se proprio vuoi darle un nome (e vuoi farlo), chiamiamola $S^{n-1}$, e diciamo che è l'insieme dei vettori che stanno a distanza 1 dall'origine.

matpro98 ha scritto: Sia perciò $O$ il centro di tale (iper)sfera (e l'origine degli assi) e $y$ la proiezione dell'$n+1$-esimo vettore su $\mathbb{R}^n$, allora $y \equiv O$ perchè altrimenti l'$n+1$-esimo vettore non avrebbe la stessa distanza dagli altri $n$ (sono su un'ipersfera e quindi hanno lo stesso modulo).

eh?
cosa stai proiettando dove? e come? di chi è la proiezione $y$? non stai cercando di costruire $n+1$ vettori in $\mathbb R^n$?

matpro98 ha scritto: Ho quindi un politopo che soddisfa in $\mathbb{R}^{n+1}$ prendendo uno dei due vettori sull'asse (non entrambi perchè altrimenti la distanza tra i due sarebbe maggiore rispetto a tutte le altre coppie).

ehm. chi ti dice che l'altezza del simplesso regolare (sì, quello che stai costruendo si può chiamare $n$-simplesso) non può essere esattamente metà del lato? se così fosse, i due vettori sull'asse avrebbero la distanza voluta, e quindi potresti metterceli tutti e due. io ho dovuto fare il conto per convincermene (ma ci sta che ci sia una dimostrazione più ovvia).

matpro98 ha scritto: D'altra parte non esistono altre configurazioni perchè, ammettendo che gli $n$ vettori non abbiano circocentro, proiettando l'$n+1$-esimo su $\mathbb{R}^n$ non potremmo mai avere che le distanze tra l'$n+1$-esimo vettore e gli altri $n$ siano uguali (un cateto in comune e gli altri diversi).

anche qui: chi stai proiettando dove? chi ti garantisce che le proiezioni preservino le distanze? (per inciso, non lo fanno.)

un suggerimento generale: da' i nomi alle cose (nei limiti del ragionevole), e spiega meglio cosa stai facendo.
intuitivamente mi è chiaro cosa vuoi fare, ma giuro che da com'è scritto non capisco un'acca.

Concordo sul fatto che è scritto male, mi scuso.

ma_go ha scritto:chi ti dice che l'altezza del simplesso regolare (sì, quello che stai costruendo si può chiamare nn-simplesso) non può essere esattamente metà del lato?

Questo non saprei comunque dimostrarlo, quindi: tentativo fallito. Grazie comunque delle precisazioni!

nota che non sto dicendo che la strategia fosse sbagliata, eh...

si dicono equipollenti